轴对称知识点

轴对称知识点归纳一、轴对称图形1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形(1)轴对称图形是指()具有特殊形状的图形,只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及()图形;(2)只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.BCAC'B'A'ABC一个一个不一定两个两个一条知识回顾：4.轴对称与轴对称图形的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。练习：1．下列四个图案中，轴对称图形的个数是()2．下列命题中，不正确的是()(A)关于直线对称的两个三角形一定全等.(B)两个圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形.(C)若两图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线.(D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台.3．下列四个图案中．具有一个共有性质则下面四个数字中，满足上述性质的一个是()(A)6(B)7(C)8(D)94.等腰三角形的一个内角是50。，则另外两个角的度数分别是()(A)65°，65°.(B)50°,80°．(C)65°，65°或50°，80°.(D)50°,50°.5.如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是()(A)9cm(B)12cm(C)1215cmcm或(D)15cm.二、填空题(每小题5分，共20分)6．等腰三角形是对称图形，它至少有条对称轴.7．小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是.8．已知△ABC是轴对称图形．且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是.9．已知点A(一2，4)，B(2，4)，C(1．2)，D(1-2)，E(一3，1)，F(3，1)是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出组对称三角形．10．如图，△ABC中，AB=AC．∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E.下述结论(1)BD平分∠ABC；(2)AD=BD=BC；(3)△BDC的周长等于AB+BC；(4)D是AC中点，其中正确的命题序号是.二、(重点)线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_（x,-y）_____.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为___（-x,y）___.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（重点）（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）五、（重点）（等边三角形）知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。2、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。练习：等腰三角形练习题一、计算题：1.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠A的度数2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠A的度数3.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数4.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数设∠A为x5.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上,∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD,求∠EDC的度数ABCDFEFEADBCABCDEABCDEAE6.如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC的度数7.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD求∠B：∠C的值二、证明题：8.如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE9.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系CBADEPEACBDFABCDEADFEB易错点解析：一、混淆轴对称与轴对称图形的概念例1图形成轴对称和轴对称图形是同一概念吗？错解：图形成轴对称与轴对称图形是一回事，都是关于某条直线对称.错解分析：产生上述错误认识的原因是对图形成轴对称与轴对称图形这两个概念的含义未能正确理解.（1）图形成轴对称反映的是两个图形之间的形状和位置的关系，而轴对称图形是指一个图形自身的性质.（2）轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点都在同一个图形上.当然，如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.正解：图形成轴对称和轴对称图形是两个不同的概念.它们之间又有着密切的联系.二、错将轴对称与全等画“=”例2如图，判断△ABC与△A′B′C的关系.错解：因为△ABC与△A′B′C全等，所以它们对称.错解分析：说两个图形对称，必须说它们关于哪条直线对称.在图中，△ABC与△A′B′C关于直线l2不对称.实质上，全等只是从图形的形状相同、大小相等两个方面揭示两个图形的关系，而轴对称是从形状相同、大小相等、位置成轴对称三个方面揭示了两个图形的关系.正解：△ABC与△A′B′C关于直线l1对称.三、漏找、错找轴对称图形的对称轴例3求线段、角、等腰三角形、正方形、圆的对称轴.错解：线段有一条对称轴，是它的垂直平分线；角有一条对称轴，是它的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；正方形有两条对称轴，是两组对边中点的连线；圆有无数条对称轴，是它的直径.错解分析：（1）图形的对称轴是直线，而不是线段；（2）线段的对称轴有两条，正方形的对称轴有四条，等腰三角形有一条或三条对称轴.正解：线段有两条对称轴，是线段的垂直平分线和它所在的直线；角有一条对称轴，是角平分线所在的直线；等腰三角形有一条或三条对称轴，是底边的垂直平分线；正方形的对称轴有四条，是对角线所在直线和过对边中点的直线；圆有无数条对称轴，是过圆心的直线（或直径所在的直线）.中考考点解析：转化方法【例1】如图所示，已知等腰三角形ABC，AB边的垂直平分线交AC于D，AB=AC=8，BC=6，求△BDC周长．【解】∵DE是AB的垂直平分线∴点B、A关于BD轴对称∴AD=BD∴△BCD的周长=BC+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC∵AC=8，BC=6∴△BCD周长=8+6=14．【规律总结】本题的思路主要是将线段转化代换，把三角形周长转代为已知线段的和，这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法．【例2】如图所示，在公路a同侧有两个居民小区A、B，现需要在公路旁建一个液化气站，要求到A、B的距离之和最短，这个液化气站应建在哪一个地方？【解】已知直线a和a的同侧两点A、B，如同所示．求作：点C，使C在直线a上，并且使AC+BC最小．作法：1．作A点关于直线a的对称点A′．2．连结A′B交直线a于点C，则C就是所求作的点．【规律总结】本题通过作点A关于直线a的对称点A′，把AC+BC的和最短问题转化为A′、B两点之间线段最短的问题．方法2：分类讨论法【例3】如图所示，在四个正方形拼接的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？请在下面简要写出你的探究过程．______________________________________________________________________________________________________。【解】24个．以A1、A2、A3、A10、A9为直角顶点．．．．的等腰直角三角形分别有1个、1个、4个、5个、1个．共12个．再根据轴对称性质可知：在整个图形内共可组成12×2=24个等腰直角三角形．数形结合法【例4】如图所示，在正方形中均匀地分布着一些数字，小明利用轴对称的思想，用了一种非常巧妙的方法，迅速地将这组数字和求了出来，你也能试试吗？【解】从数字组中可以看出，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线当作对称轴，把正方形中的数之和为5×5+10×10=125．构建数学模型【例5】一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置．如图所示，有三个物体A、B、C放在镜子前面，人眼能从镜子看见哪个物体？【思路分析】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体，它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围的．【解】分别作A、B、C三点关于直线MN的对称点A′、B′、C′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B两物体．【规律总结】这道题是轴对称在实际中的应用，关键是建立相应轴对称图形的数学模型，再利用轴对称知识来解决．拼图【例6】如图所示，一批废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，现要把这种废钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每块切割的次数最多两次，切割的损失忽略不计．（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并且用简要的文字加以说明．（2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？【解】（1）方案①、方案②如图所示：方案②中虚线为切割线，M、N为AB、AC中点，MP⊥BC．（2）若要把该三角形只切割一次后焊接成正方形零件，则该三角形应为等腰直角三角形．【规律总结】本题创新之处在于利用等腰三角形的对称性质进行切割后拼接成矩形，这种利用轴对称的性质解决实际生活中一些最优化方案的设计问题是中考的热点问题．【例7】两个“十”字形纸板如图所示，每一个都由五个正方形组成，试将其中一个切成大小和形状相同的四块，与另一个“十”字形纸板拼合在一起，得到一个正方形．【解】切拼方法如下：每块都完全一样．