MATLAB-光的干涉的研究

1光的干涉的研究湖南大学XX院系XX专业XX年级姓名学号[问题1]光的双缝干涉两束频率相同的单色光在空间某点相遇时，讨论光强和干涉条纹的分布规律。[数学模型]根据波的叠加理论，两束同频率单色光在空间某一点光矢量的大小为E1=E10cos(ωt+φ10)，E2=E20cos(ωt+φ20)，(7.1.1)其中，E10和E20分别是两个光矢量的振幅，φ10和φ20分别是初相。如果两个光矢量的方向相同，合成的光矢量为E=E0cos(ωt+φ0)，(7.1.2)其中，振幅和初相分别为2201020102020102cos()EEEEE，(7.1.3a)10102020010102020sinsinarctancoscosEEEE。(7.1.3b)在一定时间内观察到的平均光强I与光矢量的平方的平均值成正比2220102010202010[2cos()]IaEaEEEE，(7.1.4)其中a是比例系数。对于普通光源，两光波之间的相位差φ20–φ10是随机变化的，平均值为零，因此22102012IaEaEII。(7.1.5)这就是光的非相干叠加，总光强等于两束光各自照射时的光强之和。如果两束光的相位差恒定，则合成光强为12122cosIIIII，(7.1.6a)其中Δφ=φ20–φ10，第三项是干涉项。这就是光的相干叠加。如果I1=I2，则合成光强为2112(1cos)4cos2III。(7.1.6b)[讨论]①当Δφ=2kπ时(k=0,±1,±2,…)，满足这样条件的空间各点的光强最大2M1212122()IIIIIII，(7.1.7a)或IM=4I1。(7.1.7b)这种干涉是光的相长干涉。②当Δφ=(2k+1)π时(k=0,±1,±2,…)，满足这样条件的空间各点，合光强最小22m1212122()IIIIIII，(7.1.8a)或Im=0。(7.1.8b)这种干涉是光的相消干涉。[算法]当两个光源的强度相等时，相对光强为*2122cos4cos2III。(7.1.6b*)干涉条纹用图像指令image绘制，颜色用色图指令colormap控制。colormap指令中有三个参数向量[r,g,b]构成颜色矩阵，分别表示红色，绿色和蓝色，其值在0到1之间。在用红色画条纹时，变量r取0到1共64的列向量，变量g和b都清零。[程序]%两束相干光的干涉强度和干涉条纹clear%清除变量n=3;%条纹的最高阶数dphi=0.01;%相差的增量phi=(-1:dphi:1)*n*2*pi;%相差向量i=4*cos(phi/2).^2;%干涉的相对强度fs=16;%字体大小figure%创建图形窗口subplot(2,1,1)%取子图plot(phi,i)%画曲线gridon%加网格set(gca,'xtick',(-n:n)*2*pi)%改水平刻度axis([-n*2*pi,n*2*pi,0,4])%曲线范围title('光的干涉强度分布','fontsize',fs)%标题xlabel('相差\Delta\it\phi','fontsize',fs)%x标签ylabel('相对强度\itI/I\rm_1','fontsize',fs)%y标签subplot(2,1,2)%取子图r=linspace(0,1,64)';%红色的范围g=zeros(size(r));%不取绿色b=zeros(size(r));%不取蓝色colormap([rgb]);%形成色图image(i*16)%画红色条纹(乘以16放大强度,最大为64)axisoff%隐轴title('光的干涉条纹','fontsize',fs)%标题3P7.1[图示]如P7.1图所示，两个相干光强度相同，发生干涉后最小相对光强为0，最大相对光强为4。光强曲线最大的地方对应明条纹的中央，相差为2π的整数倍；光强曲线为零的地方对应暗条纹中央，相差为π的奇数倍。[问题2]牛顿环如B7.4图所示，取一块表面平整的玻璃板，将一半径很大的平凸透镜的凸面与平板玻璃接在一起，平凸透镜的凸面与平板玻璃表面搭出一个空气薄膜。用波长为λ的单色光垂直照射时，可观察到一系列明暗相间的同心圆环，这一现象最先被牛顿观察到，史称牛顿环。牛顿环的干涉条纹的分布规律是什么？[数学模型]半径很大的凸透镜与平板玻璃接近平行时，空气厚度很小。当单色光垂直入射时，在凸透镜下表面与空气的交界面同时发生反射和透射，反射光为a，透射光在平板玻璃的上表面再发生反射，反射光为b。a和b是同一束光的两部分，因而是相干光，相遇时就发生干涉。a光反射时没有半波损失，b光反射时有半波损失。空气的折射率n=1，在空气厚度为e的地方，两列光的光程差为δ=2e+λ/2。(7.4.1)明环形成的条件为δ=2e+λ/2=kλ，(k=1,2,3,…)(7.4.2a)暗环形成的条件为δ=2e+λ/2=(2k+1)λ/2，(k=0,1,2,…)(7.4.2b)干涉级次k越大，对应的厚度e也越大，明环和暗环距离中心越远。相邻明环或暗环之间的厚度差为Δe=λ/2。(7.4.3)可知：相邻明环或暗环的厚度差相同，设凸透镜的半径为R，光环的半径为r，由于r2=R2-(R-e)2≈2Re，(7.4.4)第k级明环的半径为1(),2krkR(k=1,2,3,…)(7.4.5a)第k级暗环的半径为,krkR(k=0,1,2,…)(7.4.5b)B7.4图OeRrλab4其中k=0时的暗环半径为零，表示中央是暗斑。透射光和反射光是互补的，因此在反射光明条纹处透射光形成暗条纹，在反射光暗条纹处透射光形成明条纹。当平行光垂直照射时，光强可表示为2200coscos(π)2III，将(7.4.1)式代入上式得2021cos[π()]2eII，利用(7.4.4)式得2201cos[π()]2rIIR。(7.4.6)[算法]取R为长度单位，取I0为光强单位，则相对光强为*2*201cos[π()]2IIrI。(7.4.6*)其中*/rrR。[程序]P7_4.m如下。%牛顿环clear%清除变量rm=5;%最大半径(相对坐标)r=-rm:0.01:rm;%横坐标或纵坐标向量[X,Y]=meshgrid(r);%横坐标和纵坐标矩阵R=sqrt(X.^2+Y.^2);%求各点到圆心的距离I=cos(pi*(R.^2+1/2)).^2;%反射光的相对光强I(Rrm)=nan;%最大半径外的光强改为非数(将方形图改为圆形图,四角为黑色)c=linspace(0,1,64)';%颜色范围figure%开创图形窗口colormap([cc*0c*0])%形成红色色图image(I*64)%画图像axisoffequal%隐轴title('牛顿环(反射光)','fontsize',16)%标题[说明]如果修改色图指令colormap([ccc*0])条纹的颜色是黄色。如果修改色图指令colormap([ccc])条纹的颜色是白色。修改色图指令，还可以用其他颜色表示条纹。如果将光强指令改写(标题也要改)I=cos(pi*R.^2).^2;5则可得透射光的牛顿环。[图示](1)如P7.4a图所示，牛顿环中央是暗斑，随着半径的增加，条纹间距越来越小，分布越来越密。这是因为相邻明环或暗环的厚度差相同，从里到外空气厚度迅速增加的缘故。(2)透射光的牛顿环如P7.4b图所示，其光强与反射光的光强正好相反。P7.4a图P7.4b图[结论]本文对光的双缝干涉进行了分析，应用MATLAB的指令，画出光强的曲线和干涉图样，掌握了光的干涉的规律。本文还对牛顿环干涉条件的进行分析，巧妙利用无量纲的波长，画出牛顿环反向光环和透射光环，与实验观察的结果相同。计算机模拟不但能够再现实验过程和结果，更能理解和掌握光学规律。