地球表面惯性力现象的探讨啊分解

1地球表面惯性力现象的探讨系班：物理系本1101班姓名：孙月明指导教师：张青梅摘要相对地球运动的物体会受到惯性离心力和科里奥利力，离心惯性力的存在使得地球表面的物体所受重力大小并不等于万有引力，重力的方向也非竖直向下，科里奥利的作用使得在北半球运动的物体向运动方向的右侧偏了一些。本文推导出了这两种惯性力的数学表达式，然后定量和定性地解释了落体偏东、东北信风、河岸冲刷等有趣的惯性力现象。并对生活的一些惯性力现象也作了简要分析，科里奥利效应使得子弹行过程中会向右上方偏转，当运动员进入弯道向左拐弯时，其运动方向会向外侧偏一些，也就是科里奥利力把运动员推向了外侧。关键词地球表面离心惯性力科里奥利力影响引言考虑地球自转对地面物体的影响，物体除受到牛顿力以外，还有惯性离心力和科里奥利力这两种惯性力[1]，通过严格的推导可以得到两种惯性力的数学表达式。这两种惯性力并不是真实存在的力，而是一种假想力，由于这两种力，地球表面会产生一些有趣的自然现象，如气旋和反气旋以及台风等自然现象，另外还有河岸的右岸冲刷的比右岸厉害，单轨火车右轨比左轨磨损厉害一些。对这些现象进行科学地解释是非常有必要的。1、两种惯性力1.1惯性离心力离心力，又称惯性离心力，即在旋转的惯性系中，绕惯性系做圆周运动（或曲线运动）的物体，由于其自身具有相对惯性系的能量的惯性作用，而在向心半径各处体现出的对于向心力束缚的抵抗作用。研究物体运动时,必须先选定参考系。牛顿运动定律成立的参照系是惯性。在运动学中,参考系可以按照研究问题的方便任意选择，地球绕自身轴线转动的角速度为7.3×10-5rad/s。在精度要求不高的情况下，不考虑地球的自转的影响，我们将它当成一个近似程度较好的惯性参照系[2]，惯性参照系中牛顿定律成立。地球表面物体和地球之间的万有引力提供该力,由圆周运动知识知。2Fmr2cosmR2图1.1惯性离心力其中是地球表面物体的所在纬度，R表示地球半径大小，表示地球自转角速度。我们知道在惯性系中，牛顿第二定律成立，即FFma地球表面物体相对惯性系静止，即物体相对地球表面静止，则0a所以2cosFFmR，F就是这个惯性离心力，负号表示与F的方向相反，方向垂直于地轴而背离地轴。它是一种假想力，并没有真实的施力物体。1.2科里奥利力科里奥利力，又称科氏力，它是由法国气象学家1853年科里奥利提出。下面着手推导科里奥利力的数学表达式。建立如图1.2所示的坐标系。图中xyz系是地心坐标系，其中z轴与地球自转角速度的方向相同。在O点建立坐标系n，相对于惯性系加速平动的参照系是非惯性系.转动参照系都是非惯性系。因为该坐标系相对地球表面固定不动。所以坐标系n是非惯性系。图1.2坐标系的建立3质点p在xyz系n系的位置矢量满足下面关系式orrr（1.1）其中r是xyz系中的位置矢量，nrrnrkr是n系的位置矢量，0r是由地心指向O点的位矢。从而质点P在地心坐标系中的速度：nkkodrdrdrdrdrdrnrrdtdtdtdtdtdt(1.2）公式（1.2）右侧第一项的物理含义是地表坐标系中的速度v，即nkdrdrdrvndtdtdt（1.3）考虑到下面的关系式：,dddtdt（1.4）并且有odrRdt(1.5)将公式（1.4）和（1.5）代入公式（1.2）右侧第二项可得：nkodrdrdrrnrrrRdtdtdt(1.6)注意到orrrrrR（1.7）公式（1.2）中地心坐标系中的速度可以简化成：vvr（1.8）下面推导地心坐标系中加速的公式。dvdvdrdvdvavvvdtdtdtdtdt（1.9）注意到nvvnvkv可以得到公式（1.9）右侧第一项为：kndvdvdvdrdvdnvdtdtdtdtdtdt（1.10）公式（1.10）右侧第一项的物理意义是地表系中测得的质点运动的加速的，4即nkdvdvdvandtdtdt（1.11）将公式（2.4）代入右侧第二项可得：ddvvvvdtdt.（1.12）注意到nvnvnvvvv（1.13）把公式（1.10）、(1.11)、（1.12）和（1.13）代入到公式（1.9）中得：2aavr（1.14）设P点在离z轴距离为d,背离z轴的方向为e，则可以得到：2rde（1.15）将公式（1.15）代入（1.14）可以得到地心坐标系中的加速的为:22aavde（1.16）下面分析地面非惯性系下的惯性力情况。考虑在地心惯性系下的牛顿第二定律:22Fmamamvmde（1.17）将之移项得到22Fmvmdema（1.18）令：12gFmv（1.19）22gFmdemama（1.20）可以得到：12ggFFFma（1.21）公式（1.21）可以看做地表非惯性系中牛顿第二定律公式，其中：F是真实受到力；1gF是由于地球自转产生的惯性力，即科里奥利力；2gF和地球自转、地球上质点与转轴距离有关的惯性力，即离心惯性力。略去含2项的惯性离心力，即认为重力mg通过地心，则由（1.20）得52maFmgnmv（1.22）式中F代表地球以外的作用力。令转动轴x,y,z与,,n重合，即x轴指向南方，y轴指向东方，z轴竖直向上，因与，n共面，故得[3]cos0sinnvxyz=sincossincosyzxyn其中为o点纬度。由（2.21）得质点o在x,y,z三个方向的运动微分方程为2sin2sincos2cosxYzmxFymyFmxzmzFmgmy（1.23科里奥利力也是一种假想力，并没有真实的施力物体。现在我们运用上面的知识定性并结合定量地分析一些地球表面惯性力现象。2.地球表面惯性力现象分析2.1物体在地球表面的表观重力通常所说地球表面物体的重量是由于地球的吸引而产生，其重力大小等于物体与地球之间的万有引力，方向竖直向下，这是不准确的。现在我们来做严格的说明。以地球为参照，除物体受到地表的支撑力N,还有万有引力F引和惯性离心力tF。物体相对于地球静止，这就是说N、F引与惯性离心力tF三力平衡，如图2.1所示。即与tF合力为重力。6图2.1另外2=-mMFGR引,2=-mcostFR，m表示物体的质量，M表示地球质量，R是地球的质量，是物体所在处的纬度。下面确定P及偏角θ与λ的关系,取地心坐标系,O为原点,Z轴指向物体所在处的天顶,X轴指向物体所在处的南方.不难得出引力的分量：20,F/xzFgmMR（2.1）惯性离心力在X和Z轴方向上的分量分别为：2cossinFmR，22cosFmR（2.2）由矢量合成,计算出P的大小为:2222cossincosxzPmRPGmMRmR（2.3）(2.3)式指出了重量在,XZ轴方向的两个分力。从而可以得出P的大小。222222coscossinGmMpmRmRR（2.4)满足：2222arctgcossincosmRGmMRmR(2.5)由于比较小,因而(2.5)式可以简化成：72222arctgcossinarctgcossinarctgsin22mRGmMRmRmgmRg2sin22Rg(2.6)由(2.4)式,可以得：222242cosPGmMRGmMRmR含的高次项222222222cos12cosGmMRGmMRmRGmMRmRGmMR按二次式定理展开,保留头两项:22221cospGmMRmRGmMR222cosGmMRmR（2.7）（2.6），（2.7）即为所求P和的结果。分析以上结果可知,F惯对P的影响表现在两个方面:其一,由(2.7)式可见,惯性离心力有与引力方向相反的分力,使得物体的实际重量P比表面看上去（引力）小了一些。其二,由(2.6)知重量的方向与引力的方向并不重合,而是有一个偏角。需要说明的是在赤道和两极偏角并不存在[4]，即万有引力就是重力。所以平常所说的重力方向竖直方向并不严格,而是与地心有一个小偏角，仅是由于地球的自转角速度很小，所以这个偏角在许多情况下都可以近似为零。通过上面的例子可以看到,惯性力在不同的非惯性系中以其不同的形式存在,这些事实足以说明了惯性力存在的真实性。2.2傅科摆1851年,法国科学家傅科在巴黎成功地进行了傅科摆实验。出色地证明了地球在自转，下面我们对傅科摆实验做一个真实的还原。（1.23）推导得出随地球自转物体的运动微分方程为：cos2)cossin(2sin2ymmgFzmzxmFymymFxmzyx（2.1）如图2.2所示，对于傅科摆它受到重力和绳子的张力。设绳长为L，在某一瞬8时建立摆的动坐标系为XYZ，则TlzlFTlyFTlxFzyx(2.2)图2.2傅科摆因为很小，所以包含2的项可以略去。摆的振幅角非常小，在z方向上振动更是甚微，故可以略去二阶微量z及其时间的微商。由于llyxlyxlzl......)21()(222222并且由（2.2）式可知TFZ所以（2.1）式中的最后一个式子变为mgymmgTcos2则（2.1）式当中另外两式变为0sin20sin222ypxyxpyx（2.3）其中lgp2。把（2.3）式中最后一个式子乘以)1(ii后再加上（2.3）的第一个式子得到方程L-ZLXYTZ9)(0sin22iyxpi（2.4）方程的通解可以写成：tntnBeAe21（2.5）其中中A、B是待定的积分常数（都是复数），其数值由初始条件确定。1n和2n是下面这个方程的根。0sin222pnin（2.6）则1n及2n值为22222221sinsinsinsinpiinpiin（2.7）省略2项，得到)(siniptipttiBeAee.2.8）如果0，即地球不存在自转，则ptBAyptBAxptBAiptBABeAeiyxiptiptsin)(cos)(sin)(cos)(11111.（2.9）由（2.8）式知tytxitytxtptBAtptBAitptBAtptBAptBAiptBAtitiyx)sincos()sinsin()sinsin()sincos()sincos(sin)()sinsin(cos)()sinsin(sin)()sincos(cos)(sin)(cos)()sinsin()sincos(1111于是得tytxytytxx)sincos()sinsin()sinsin()sincos(1111（2.11）由（2.11）可以得出：摆作两种周期