基本不等式讲课课件详解

3.4基本不等式河北威县第二中学张俊辉（第1课时）情境导入儿时的风筝著名的赵爽玄图这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。BADBCEFGHba22ab思考：这会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ADBCEFGHba22ab试比较4个直角三角形的面积之和与正方形ABCD的面积大小，我们会得到一个不等式：a2＋b22ab玄图变化当a＝b时我们再次观察4个直角三角形面积之和与大正方形的面积，我们发现此时ADBCEFGHba22abACBE(FGH)abDa2＋b2＝2ab.一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立222abab试一试：你能给出它的证明吗于是得重要不等式如果a0，b0，用a，b分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？得到a＋b≥2ab(,)002ababab即于是我们得到2baab基本不等式：)0,0(ba当且仅当a=b时，等号成立为a、b的算术平均数，为几何平均数，2baab代数意义两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.我来试一试：证明不等式ab≤a＋b2(a0，b0)?下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：a＋b2≥ab(a0，b0)，①只要证：a＋b≥________，②要证②，只要证a＋b－________≥0，③要证③，只要证(________－________)2≥0.④显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立．下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：a＋b2≥ab(a0，b0)，①只要证：a＋b≥________，②要证②，只要证a＋b－________≥0，③要证③，只要证(________－________)2≥0.④显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立．2ab2abab如图,AB是圆o的直径，D是AB上任一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DC，连AD,BD,则DC=____,DO=AO=_____你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?DABCoabDO与DC的大小关系怎样?当C与O重合时呢？如图,AB是圆o的直径，D是AB上任一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DC，连AD,BD,则DC=____,DO=AO=_____DABCoabab2ba易证Rt△ADC∽Rt△DBC，那么DC2＝AC·BC，即DC＝ab.半径OD＝a＋b2，显然，它大于或等于DC，即a＋b2≥ab，其中当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长为a、b的算术平均数，为几何平均数，那么2baab代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式2abab小结：例1.x0,当x取什么值时，的值最小？最小值是多少？1xx解：当x＞0时，由基本不等式，得当且仅当x=1时等号成立，所以当x为1时有最小值，最小值为2≥21xxxx12≥两个正数积为定值，则和有最小值学以致用例2.设a、b是正实数，且a＋b＝8，当a,b满足什么条件时，ab有最大值？最大值是多少？解：因为a,b均为正实数所以当且仅当a=b=4时成立即ab16所以当a=b=4时，ab有最大值，最大值为1642baab两个正数和为定值，则积有最大值.1、当x0时，的最小值为，此时x=。xx142、已知则xy的最大值是。)0,0(232yxyx3、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、yx,5yxyx333664318当堂检测461D211．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b22ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．3．基本不等式的意义(1)代数意义(2)几何意义；本课小结≥a0，b0a＝b正数a,b的算术平均数不小于它的几何平均数圆的半径不小于圆内半弦长感恩有您谢谢指导02）（ba0222babaabba222证明：222abab证明不等式：学校计划一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2x+2y=36,即x+y=18，矩形菜园的面积为xym2当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。因此，这个矩形的长为9m、宽为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2。我来试一试ADBCEFGHba22aba2＋b2（1）正方形的边长为_____面积为_____（2）4个全等的直角三角形面积之和为___（3）比较4个直角三角形的面积之和与正方形的面积大小，我们就得到了一个不等式：a2＋b22aba2＋b22ab数学家的最高荣誉──菲尔兹奖奖章正面是阿基米德头像,并用拉丁文写有：“超越人类极限，做宇宙主人”的格言奖章的背面用拉丁文写着“全世界的数学家们：为知识作出新的贡献而自豪”