随机过程课堂例题

2、随机过程的概念与基本类型•例1已知随机相位正弦波X(t)=acos(t+)，其中a0，为常数，为在（0,2）内均匀分布的随机变量。求随机过程{X(t),t(0,)}的均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)。)(,cos2)](cos[2),(0)(22stastatsRtmXX随机过程课堂习题例2•设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，则W(t)的均值函数为其相关函数为)()()(tmtmtmYXW),(),(),(),()]()([)]()([)]()([)]()([)]}()()][()({[)(tsRtsRtsRtsRtYsYEtXsYEtYsXEtXsXEtYtXsYsXEtRYYXXYXW例3设复随机过程，其中X1,X2,…,Xn是相互独立且服从N(0,)的随机变量，1,2,…,n为常数，求{Zt,t0}的均值函数mZ(t)和相关函数RZ(s,t)。0,1teXZnktiktk2knktsikZZketsRtm1)(2),(0)(3、泊松过程[例1]已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。[解]0,00,)!1()()(1ttktetfktT故仪器在时刻t0正常工作的概率为:0d)!1()()(10tkttktetTPP仪器发生第k振动的时刻Wk就是故障时刻T，则T的概率分布为分布:1000!)(])([0knntntektXP})()({ntXksXPknkkntstsC1参数为n和s/t的二项分布[例2]设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求在[0,s]内事件A发生k次的概率。})({})(,)({ntXPntXksXP})({})()(,)({ntXPknsXtXksXP!)()!()]([!)()(netknestkestnstknsknknktstsknkn)()!(!!)()(nsftXWk[例3]设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k次(kn)事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布})({ntXhsWsPk})({})(,{ntXPntXhsWsPk})({})()(,{ntXPknhsXtXhsWsPk})({})()({}{ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh})({lim0})({})()({)(ntXPknsXtXPsfkW[例4]设{X1(t),t0}和{X2(t),t0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间，W1(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求P{Wk(1)W1(2)}，即第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生的概率。kkWWP211)2(1)1(}{)()!1()()(1tuntetfntWn例6ttsstXDtXEtsin15.0)dcos.5(10)]([)]([0设{X(t),t0}是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求E[X(t)]和D[X(t)]。)cos1(5.0)(tt[例7]设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。1613,)13(4001400133,140030,400200)(tttttt2800400d1d)()7()9(9797tttmmXX28002000!20002800]2000)7()9([eXXP4马尔可夫链[例]设{Xn,nT}是一个马尔可夫链，其状态空间I={a,b,c}，转移矩阵为05/25/33/103/24/14/12/1P求：}{)2(};,,,{)1(204321bXcXPcXcXaXcXbXPnn},,,{)1(04321cXcXaXcXbXP}{/}{}{}{}{}{0001122334cXPcXPcXbXPbXcXPcXaXPaXcXPcbbccaacPPPP50152315341}{/},,,,{043210cXPcXaXcXbXcXP05/25/33/103/24/14/12/1P解：}{)2(2bXcXPnn二步转移概率矩阵：901720330176110315824540930172)2(PP61)2(bcP[例]（例4.8）设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3}，其转移概率矩阵为000332211qppqqpP求从状态1出发经n步转移首次到达各状态的概率。0,12,)(1,2,)(13131131)(12mmnppqmmnqqpqfmmn0,12,)(1,2,)(12121121)(13mmnqqpmmnppqpfmmn0,12,)()(1,2,)()(1,03212313213213123121321)(11mmnqqpqqppqppmmnppqqqqppnfmmmmn解：①②③p1q2q1q3p3p2[例]（例4.9）设马氏链的状态空间I={0,1,2,…}，其转移概率为分析各状态的类型。,21)1(00f解：Iipppiii,21,21,2101,00先考查状态0，,412121)2(00f,21)(00nnf,121100nnf可见状态0为正常返，且是非周期，因而是遍历的。因为i0，故i也是遍历的。[例]（例4.11）设马氏链{Xn}的状态空间I={1,2,3,4,5}，转移矩阵为P，试分析其闭集及不可约性。000100000100100005.005.005.0005.0P④①②③1/21/21/211/211⑤状态3为吸收态，故{3}是闭集；{1,4}，{1,4,3}，{1,4,2,3}都是闭集；{3}和{1,4}是不可约闭集；因为I含有闭子集，故马氏链{Xn}不是不可约链。[例]（例4.13）设状态空间I={1,2,…,6}，转移矩阵为P，试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。由图知f11(3)=1,f11(n)=0,n≠3,所以()11113nnnf可见1为正常返且周期等于3.含1的基本闭集C1={k:1→k}={1,3,5}从而3及5为正常返且周期等于3.同理可知6为正常返状态。μ6=3/2,其周期为1，含6的基本闭集为C2={k:6→k}={2,6}④①②③1/31/31/211/211⑤⑥11/3[例]（例4.13）设状态空间I={1,2,…,6}，转移矩阵为P，试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。}6,2{}5,3,1{}4{21CCDI④①②③1/31/31/211/211⑤⑥11/3可见2是遍历状态。由于f44(1)=1/3,f44(n)=0,n≠1,故4为非常返，周期为1，于是I可分解为[例]（例4.14）设不可约马氏链的状态空间C={1,2,3,4,5,6}，转移矩阵为P，试对其状态空间进行分解。04/304/1000000100001000000103/103/1003/102/102/100P[例]（例4.14）设不可约马氏链的状态空间C={1,2,3,4,5,6}，转移矩阵为P，试对其状态空间进行分解。④①②③3/41/31/211/21⑤⑥11/31/31/4}2{}5,3{}6,4,1{210GGGC1,4,63,52111由状态转移图易见各状态的周期为d=3，今固定i=1，令G0={j:对某n≥0有p1,j(3n)0}={1,4,6}G1={j:对某n≥0有p1,j(3n+1)0}={3,5}G2={j:对某n≥0有p1,j(3n+2)0}={2}[例]（例4.15）设{Xn}是例4.14中的马氏链，已知d=3，则{X3n,n0}的转移矩阵为3/103/1003/1012/5012/7003/103/1003/1012/5012/7000000103/103/1003/1)3(P②1③5/12⑤5/127/127/12④①1/31/3⑥1/31/31/31/31/3}2{}5,3{}6,4,1{210GGG[例]（例4.16）设马尔可夫链的转移概率矩阵为P，求马氏链的平稳分布及各状态的平均返回时间。9.005.005.01.08.01.02.01.07.0P解：因为该马氏链是不可约的非周期有限状态，所以存在平稳分布。各状态的平均返回时间分别为：10.90.12.00.050.81.00.050.17.032132133212211平稳分布为：5882.0,2353.0,1765.032170.11,25.41,67.51332211[例2]留宿的车站号，显然这是一个马尔可夫链，转移概率矩阵为00100001/21/201/41/401/41/401/31/301/3001/21/20p设平稳分布为={j,j=1，2，3，4，5}，则由42531[例2]解得511iip123451/121/61/31/41/6习题1、设马尔可夫链的转移概率矩阵为0.50.40.10.30.40.30.20.30.5p求此链的极限分布与平稳分布。2、设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流。求（1）在三分钟内无顾客到达的概率（2）在第一分钟到第二分钟之间只有一个顾客到来的概率（3）在二分钟内到达的顾客不超过三人的概率。解答1、解：它的平稳分布满足1123212312331230.50.30.20.40.40.310.10.30.5解方程组得12321/62,23/62,18/62即不论其初始分布如何，在经过一段时间以后，有12/62的时间过程处于状态1，有23/62的时间过程处于状态2，有18/62时间过程处于状态3.故极限分布为（21/62,23/62,18/62）解答2、解：设{X(t),t≥0}为顾客到达数的泊松过程，λ=20236(23){(3)0}0!pXee（1）（2）1212(21){(2)(1)1}{(1)1}21!pXXpXee（3）44444{(2)3}{(2)0}{(2)1}{(2)2}{(2)3}32714833pXpXpXpXpXeeeee