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§2-1投影法基本知识一、概述投影法就是投影中心发出的投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。根据投影法得到的图形称为投影，得到投影的面称为投影面。投影面投射中心投影体ACB投影abc投射线投影三个要素：投射线、投影面、物体。二、投影法分类根据投射线之间的相对位置不同，投影法分为中心投影法和平行投影法两类。1、中心投影法：投射线均从一点发出的投影法称为中心投影法。发出投射线的点即是投射中心。中心投影法的投影特性：⑴立体感强——在建筑设计领域通常用中心投影法绘制建筑物的透视图。⑵度量性差——投影的大小随着物体位置的改变而变化。CAB投影面abc物体位置改变，投影大小也改变2、平行投影法：投射线相互平行的投影法称为平行投影法。根据投射线与投影面是否垂直，平行投影法又分为斜投影法和正投影法。⑴斜投影法：投射线倾斜于投影面的平行投影法。斜投影法在机械工程方面用于绘制立体图。投影体ACB投影面abc斜投影投射线倾斜于投影面⑵正投影法：投射线垂直于投影面的平行投影法。正投影法能够准确表达空间物体的形状和大小，度量性好，作图简便，因而在工程上得到广泛的应用。投影体ACB投影面abc正投影投射线垂直于投影面机械图样主要是用正投影法绘制，如三视图。三、正投影的基本性质真实性：当一线段与投影面平行时，其正投影反映该线段的实际长度；当一平面图形与投影面平行时，其正投影反映该平面图形的实际形状。真实性积聚性：当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一点；当一平面图形与投影面垂直时，其正投影积聚为一直线。积聚性类似性：当一线段与投影面倾斜时，其正投影为缩短的线段；当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影为缩小的类似图形。类似性根据国标规定，用正投影法绘制出物体的图形称为视图。下图表示的是三个不同形体，在一个投影面上的视图却是完全相同的。工程上为了准确表达物体的空间形状，采用的是多面正投影图，三视图则是准确表达形体的一种基本方法。§2-2三视图的形成及其对应关系§2-2三视图的形成及其对应关系一、三视图的形成三投影面体系的建立三投影面体系是由三个互相垂直的投影面所组成。1、正立投影面—简称正立面，用V表示。2、水平投影面—简称水平面，用H表示。3、侧立投影面—简称侧立面，用W表示。三投影面体系三个投影面的交线称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表示，也可简称为X、Y、Z轴。三根投影轴相互垂直相交，交点称为原点。§2-2三视图的形成及其对应关系物体在三投影面体系中的投影：将物体置于三投影面体系内，并使其处于观察者与投影面之间，用正投影法分别向三个投影面投射，即可得到物体的三视图成。1、主视图—从前向后投射，在V面上所得的视图。2、俯视图—从上向下投射，在H面上所得的视图。3、左视图—从左向右投射，在W面上所得的视图。三视图的形成三投影面的展开V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，这样V、H和W三个投影面就摊平在了同一平面上。水平投影面和侧立投影面旋转后，OY轴被分成两条，分别用OYh和OYw表示。三投影面的展开三视图之间的投影规律由于三视图反映的是同一物体，所以相邻两个视图同一方向的尺寸必定相等，由此可以得出：1.主、俯视图长对正两者都反映了物体的长度尺寸2.主、左视图高平齐两者都反映了物体的高度尺寸3.俯、左视图宽相等两者都反映了物体的宽度尺寸三视图之间存在的“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”规律，对于任何物体，不论是整体还是局部，这个投影对应关系都保持不变。三视图与物体方位的对应关系物体有上、下、左、右、前、后六个方位，当物体的主视图投射方向确定后，其六个方位也随之确定。各视图反映的方位如图所示：主视图能反映物体的上下和左右方位俯视图能反映物体的左右和前后方位左视图能反映物体的上下和前后方位以主视图为基准，俯、左视图中靠近主视图的一边是物体的后面，远离主视图的一边是物体的前面。三、画物体三视图的步骤作图之前，首先选择反映物体形状特征最明显的方向作为主视图的投射方向，并将物体在三投影面体系中放正，然后按正投影法分别向各投影面投射。点是最基本的几何元素，为了正确表达物体，首先应掌握点的投影规律。§2-3点的投影点击播放动画一、点的三面投影在三投影面体系中有一点A，过点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″即为点A在三个投影面上的投影。空间点用大写字母表示，水平投影用相应的小写字母标记，正面投影用相应的小写字母加一撇标记，侧面投影用相应的小写字母加两撇标记。如图中的a、a′、a″。点击播放动画将三投影面展开，去掉投影面的边框线，便得到点的三面投影图，如图所示。aX、aYH、aYW、aZ分别为点的投影连线与投影轴OX、OYH、OYW、OZ的交点。点投影立体图A点投影展开图1、点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（aa′⊥OX）。2、点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（a′a″⊥OZ）。3、点的水平投影到OX的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（aaX=a″aZ）。点的三面投影规律从点的三面投影图的形成过程，可得出点的三面投影规律：点的每个投影能反映点的两个坐标点的正面投影a′反映出x、z坐标点的水平投影a反映出x、y坐标点的侧面投影a″反映出y、z坐标三、点到投影面的距离用点的坐标表示。★点A到W面的距离等于点的X坐标，XA=aayh=a′az★点A到V面的距离等于点的Y坐标，YA=aax=a″az★点A到H面的距离等于点的Z坐标，ZA=a′ax=a″ayw例：已知点A（30、15、25）求作A点的三面投影。1.分别在X、Y、Z轴上量取A点的坐标30、15、25，得ax、aYH、aYW和aZ点2.过ax、aYH、aYW和aZ点作所在投影轴的垂线3.各垂线的交点即为所求A点的三面投影作图步骤：例：如图所示，已知B点的正面投影和侧面投影，补出B点的水平投影。作图分析：由于点的任两投影都能反映该点的三个坐标，因此便可按点的投影规律作出点的第三投影。作图步骤：1.按点的投影规律作点的投影连线；2.投影连线的交点即为B点的水平投影。例：已知点A（40、15、30）求作A点的直观图。1、首先画出三投影面的直观图。2、在三坐标轴上分别量取该点的三个坐标，得ax、ay和az点。3、过ax、ay和az点作相应投影轴的平行线，各线的交点为点的投影。4、分别过a、a′、a〞作三坐标轴的平行线。三条线的交点为空间A点三投影面体系直观图作图步骤：四、点的直观图画法例：已知B（40、30、0）作出B点的三面投影。因B点的坐标（40、30、0）中Z坐标为0，故B点位于H面上。思考：当点位于投影轴上及原点时，其三个投影的位置。若点在投影面上，则该点的三个坐标中有一个为0点在V面上—Y坐标为0在H面上—Z坐标为0在W面上—X坐标为0投影轴上的点的三个坐标中有两个为0点在X轴上—Y、Z坐标为0在Y轴上—X、Z坐标为0在Z轴上—X、Y坐标为0原点上的点原点上的点，三个坐标均为0，三个投影均与原点重合。五、空间两点的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间的上下、左右和前后的位置关系。试判别图中A、B两点的相对位置。根据两点的坐标判断相对位置。两点中，X坐标大点在左；Y坐标大，点在前；Z坐标大，点在上。例：试判断图中A、B两点的相对位置。B点X坐标大：B点在A点左方B点Y坐标大：B点在A点前方B点Z坐标小：B点在A点下方六、重影点及其可见性重影点：若两个点在某一投影面上的投影重合成一点，则称为重影点，如图所示：d′与c′，a与b为重影点。从图中可看出：A、B两点的X、Y坐标相等；C、D两点的X、Z坐标相等。分析A、B两点哪两个坐标相等，C、D两点哪两个坐标相等？重影点的坐标中有两个相等。当两点的投影重合时就会有一个点的投影被挡住，作图时要判断出被挡住的点，即判别重影点的可见性，可通过两重影点的不相等的坐标来判别。一定是坐标大的点挡住坐标小的点。注意：判别后，要将不可见投影用括号括住。1.从图中可看出A、B在H面上的投影重合，为水平重影点。由于A点的Z坐标比B点的Z坐标大，故B点的水平投影不可见。2.C、D两点在V面重影，因D点的Y坐标小，故D点的正面投影不可见。点的投影是学习直线投影的基础。实际上也是学习后面其他内容的基础。一、直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况为一点。由于两点可以确定一条直线。因此作直线的投影可以归结为作直线上两端点的投影。点击播放动画§2-4直线的投影作图步骤：例：根据AB直线的两面投影补出第三面投影。2.投影连线的交点为A、B两端点的侧面投影,连接A、B的侧面投影完成作图。1.按点的投影规律分别作A、B两点投影的连线;注意：要细心，不要把点对错了。§2-4直线的投影二、各种位置直线的投影根据直线在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将直线分为：投影面平行线投影面垂直线投影面倾斜线1、一般位置直线定义：与三个投影面均成倾斜的直线特殊位置直线一般位置直线直线与H、V、W投影面的倾角分别用α、β、γ表示，见图中的标注。一般位置直线投影特点：⑴三个投影与投影轴都倾斜，且都是缩短的直线；⑵三个投影与投影轴的夹角，均不能反映α、β、和γ角实际的大小。§2-4直线的投影2、投影面平行线定义：平行于某一投影面，倾斜于另两投影面的直线。投影面平行线分为三种：正平线——平行V面，而与H面、W面成倾斜水平线——平行于H面，与V、W面成倾斜侧平线——平行于W面，与V、H面倾斜§2-4直线的投影投影面平行线的投影特点：投影面的平行线在其所平行的投影面上的投影为倾斜的直线，并反映实长。（正投影的真实性）另外两个投影分别平行于相应的投影轴。真实性投影即倾斜的直线与投影轴的夹角反映空间直线对投影面倾角的实际大小。§2-4直线的投影3、投影面垂直线定义：垂直于某一投影面的直线（与另两投影面平行）。投影面的垂直线分为三种：正垂线——垂直于V面，而与H面、W面平行铅垂线——垂直于H面，与V、W面平行侧垂线——垂直于W面，与V、H面平行§2-4直线的投影投影面垂直线的投影特点：投影面的垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。另外两个投影垂直于相应的投影轴，并反映实长。§2-4直线的投影例：判断图中各直线的空间位置。§2-4直线的投影AB是线；CD是线；EF是线；GH是线；KL是线；MN是线；ST是线。二、各种位置直线的投影例：试分析立体表面上各线段的空间位置。§2-4直线的投影图中：AB是线；AC是线；DB是线；CE是线；EF是线。三、点与直线1.点在直线上⑴点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影。反之，若点的各个投影从属于直线的同面投影，则该点必定从属于此直线。⑵从属于直线的点分割线段的长度之比等于其投影分割线段投影长度之比。即直线上点的定比性。即ac:cb=a'c':c'b'=a''c'':c''b''=k§2-4直线的投影点击播放动画例:判断图中点是否在直线上。作图分析：⑴由于AB直线为一般位置。而给出的C点的两投影分别在AB线的同面投影上，故可认定C点从属于AB直线。判别方法1：补出k点与EF线的侧面投影。判别方法2：由定比性作图判别。⑵EF线为一侧平线，虽然k点的两投影在EF线的同面投影上，但由于AB直线位置的特殊性，仍需要通过作图认定。四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种情况，即相交、平行和交叉。平行、相交的两直线属于共面直线，交叉的两条直线为异面直线。1、两直线平行空间平行的两直线，其同面投影必定平行。反之，若两直线的各个投影都平行则该两直线在空间必定平行。§2-4直线的投影2、两直线相交图中AB、CD两直线在空间相交，可以看到两直线的各同面投影均相交。其投影的交点即为两直线交点的投影。空间相交的两直线，其同面投影必定相交，交点为两直线所共有，且交点的投影应符合点的投影规律。§2-4直线的投影例：1、过S点任作一直线与AB线相交2、过S点作一水平线ST与AB线相交。作图分析1:题目没有其他要求，即只要作出的图形符合相交的结论就可。最简单的方法是将S点