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全等三角形中常见的辅助线（一）适用学科数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点倍长中线法；截长补短法教学目标1.掌握倍长中线法的运用条件2.掌握截长补短法的运用条件教学重点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学难点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学过程一、复习预习全等三角形的判定定理：1、SSS：三边对应相等的两个三角形全等2、SAS：两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、AAS：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、ASA：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等5、HL：在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等二、知识讲解考点1遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．考点2截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．三、例题精析【例题1】【题干】已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC2AD。ABCDE3【答案】证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC∵AD是中线∴DC=DB∵DE=AD，∠CDE=∠BDA，DC=DB∴△CDE≌△BDA∴CE=AB在△AEC中CE+ACAE，CE=AB∴AB+ACAE∵DE=AD∴AE=2AD∵AB+ACAE∴AB+AC2AD【解析】分析：要证AB+AC2AD，由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。【例题2】【题干】已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。求证：BE+CFEF。ABCDEFN1图1234【答案】证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC在△DEB和△DNE中DN=DB∠1=∠2DE=DE∴△DEB≌△DNE（SAS）∴BE=NE同理可得：CF=NF在△EFN中，EN+FNEF∴BE+CFEF【解析】分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。四、课堂运用【基础】1、△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围（）A．1＜AD＜4B．3＜AD＜13C．5＜AD＜13D．9＜AD＜13【答案】A【解析】解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM所以AB=CM又CM-ACAMCM+AC所以22*AD8所以1AD42、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE【答案】过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC（已知），∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质），∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角），∴∠B=∠DFB（等量代换），∴BD=DF（等角对等边），∵BD=CE（已知），∴DF=CE（等量代换），∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），∴△DFG≌△ECG（AAS），∴DG=GE（对应边相等）【解析】过D作DF∥AC交BC于F，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△GDF≌△CEG即可.【巩固】1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFFEDABC【答案】解：延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC∵△ABC中,AD是BC边上的中线∴BD=DC∵AD=DG∴四边形ABGC为平行四边形∴AC=BG,AC//BG∴△AFE∽△GBE∴AF/FE=GB/BE∵AC=BE,AC=BG∴BE=BG∴AF=FE【解析】延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA【答案】延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE,DM=AC又BD=DC=AC∴DM=BD,∠ADC=∠CAD又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE【解析】因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE所以∠ABC=∠CAE因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC∠ADC=∠ABC+∠BAD所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE所以∠BAD=∠DAE即AD平分∠BAEPQCBA【拔高】1、如图，已知在△ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP【答案】证明：做PM‖BQ，与QC相交与M。∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC=180°—70°—40°=70°∴∠APB=∠APM又∵AP是BAC的角平分线，∴∠BAP=∠MAPAP是公共边∴△ABP≌△AMP(角边角）∴AB=AM，BP=MP在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°∴MP=MC∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中∵∠QBC=QCB=40°∴BQ=QC∴BQ+AQ=AQ+QC=AC∴BQ+AQ=AB+BP【解析】做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论。2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BDCDBA【答案】在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE=AE,∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又AC∥BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE，∠NBE=∠EBNBE=BE∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD【解析】根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论课程小结1)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．