远期和期货的定价

第二节无收益资产远期合约的定价一、无套利定价法无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。为给无收益资产的远期定价，构建如下两种组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在t时刻的价值相等。即：f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）（12.1）（12.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债组成。二、现货-远期平价定理由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（12.1）式中f=0，则F=Ser（T－t）（12.2）这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-ForwardParityTheorem），或称现货期货平价定理(Spot-FuturesParityTheorem)。式（12.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。可用反证法证明（12.2）不成立时的情形是不均衡的。假设FSer（T－t），则套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了F－Ser（T－t）的无风险利润。若FSer（T－t），则套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利润。三、远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。则不同期限远期价格之间的关系：(12.3)读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。*ˆ*()rTTFFe第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法为了给支付已知现金收益资产的远期定价，可构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金;组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负债。组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此，在T时刻，这两个组合的价值应相等，即：f+Ke-r（T－t）=S-If=S-I-Ke-r（T－t）（12.4）公式（12.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。我们同样可以用反证法来证明公式（12.5）假设F(S-I)er（T－t），则套利者可借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser（T－t），同时他将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（T－t）的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)er（T－t）。假设F(S-I)er（T－t），则套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（T－t），同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier（T－t）同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(S-T)er（T－t）-F。可见当公式（12.5）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将促成公式（12.5）成立。363607100163.731.041.04ii美元\第四节支付已知收益率资产远期合约的定价一、支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法为了给出支付已知收益率资产的远期定价，可构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：e-q（T－t）单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此在T时刻两者的价值也应相等，即：（12.9）公式（12.9）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于e-q(T-t)单位证券的现值与交割价现值之差。或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由e-q（T－t）单位标的资产和Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。()()rTtqTtfKeSe()()qTtrTtfSeKe这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式根据远期价格的定义，我们可根据公式（12.9）算出支付已知收益率资产的远期价格：（12.10）这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。公式（12.10）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。()()rqTtFSe例12.8：假设S&P500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），连续复利的无风险利率为10%，3个月期S&P500指数期货的市价为1080点，求该期货的合约价值和期货的理论价格。根据公式（12.9），我们可得：由于S&P500指数合约规模为指数乘以500，因此一份该合约价值为-65.75500=-32877美元。根据公式（12.10），我们可求出S&P500指数期货的理论价格：0.050.250.10.25(10001080)65.75fee(0.105)0.2510001012.58Fe二、外汇远期和期货的定价外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf表示。我们用S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，即S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率。根据公式（12.9），我们可以得出外汇远期合约的价值：（12.11）根据（12.10）可得外汇远期和期货价格的确定公式：（12.12）这就是著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。()()frTtrTtfSeKe()()frrTtFSe三、远期利率协议的定价远期利率协议多方的现金流为：T时刻：A；T*时刻：这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值：这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格（rK）。因此从第5章我们知道代入公式（12.14）得：(12.15)(*)KrTTAe(*)()(*)()KrTTrTtrTTrTtfAeAeee()(*)()1KrrTTrTtAeeFrr***rTtrTtrTT***FrTtrTtrTT例子例12.9：假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11%，本金为100万美元的2年3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于多少?根据公式（12.14）和公式（12.15），该合约理论上的合同利率为：根据公式（12.13），该合约价值为：0.1130.105212.0%32Frr0.1052(0.110.12)(32)100[1]8065.31Fee万美元四、远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议多头的现金流为：T时刻：A单位外币减AK本币T*时刻：AK*本币减A单位外币这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值（f）：（12.16）*****()()()()()()*[][]ffrrTtrTtrrTtrTtfAeSeKAeKSe远期汇率和远期外汇综合协议的价值由于远期汇率就是合约价值为零的协议价格（这里为K和K*），因此T时刻交割的理论远期汇率（F）和T*时刻交割的理论远期汇率（F*）分别为：（12.17）(12.18)其结论与公式（12.12）是一致的。将公式（12.17）和（12.18）代入公式（12.16）得：（12.19）()()frrTtFSe***()()*frrTtFSe**()(**()()rTtrTtfAeFKAeKF）远期差价有的远期外汇综合协议直接用远期差价规定买卖原货币时所用的汇率，我们用W*表示T时刻到T*时刻的远期差价，则W*=F*-F。将公式（12.17）和（12.18）代入，可得：（12.20）用W表示t时刻到T时刻的远期差价，可得：W=F-S（12.21）*()()()()*[1]ffrrTtrrTTWSee()()[1]frrTtWSe例12.10假设美国2年期即期年利率（连续复利，下同）为8%，3年期即期年利率为8.5%，日本2年期即期利率为6%，3年期即期利率为6.5%，日元对美元的即期汇率为0.0083美元/日元。本金1亿日元的2年3年远期外汇综合协议的2年合同远期汇率为0.0089美元/日元，3年合同远期汇率为0.0092美元/日元，请问该合约的多头价值、理论上的远期汇率和远期差价等于多少？根据公式（12.17），2年期理论远期汇率（F）为：美元/日元根据公式（12.18），3年期理论远期汇率（F*）为：美元/日元(0.080.06)20.00830.0086Fe*(0.0850.065)30.00830.0088Fe根据公式（12.20），2年3年理论远期差价（W*）为：美元/日元根据公式（12.21），2年期理论远期差价（W）为：根据公式（12.19），该远期外汇综合协议多头价值（f）为：**0.0002WFF0.00860.00830.0003/WFS美元日元0.00820.0085310.00860.008910.00920.00889,469fee亿亿美元第五节期货价格与现货价格的关系一、期货价格和现在的现货价格的关系期货价格和现货价格的关系可以用基差（Basis）来描述。所谓基差，是指现货价格与期货价格之差，即：基差=现货价格—期货价格（12.22）基差可能为正值也可能为负值。但在期货合约到期日，基差应为零。这种现象