湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

九上第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义:如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20axbxc（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。2、把20axbxc（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。（二）一元二次方程的解法1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成(p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。2、配方法：配方式基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式，右边化为一个常数；两边开方求其根。3、公式法242bbacxa（注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式）4、分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）（三）一元二次方程根的判别式判别式⊿=b2-4ac与根的关系：当b2-4ac0时，则方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根；当b2-4ac≥0时，则方程有两个实数根；当b2-4ac0时，则方程无实数根（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数a≠0）（四）一元二次方程根与系数的关系：1、根与系数关系：如果一元二次方程20axbxc的两根分别为x1、x2，则有：1212,bcxxxxaa.（韦达定理）2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值，特别注意以下公式：①222121212()2xxxxxx②12121211xxxxxx③22121212()()4xxxxxx④2121212||()4xxxxxx⑤2212121212(||||)()22||xxxxxxxx⑥33312121212()3()xxxxxxxx⑦其他能用12xx或12xx表达的代数式。（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：12212()0xxxxxx，（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程12212()0xxxxxx的两根。（五）一元二次方程的应用1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：20axbxc（a≠0）（两边同时除以a得）20bcxxaa（一次项系数ba除以2并写成完全平方式得）（可作为公式记忆）。。。。。。2、二次代数式配方可以求最值（应用题常考）：二次代数式2axbxc提取二次项系数a得2()baxxca（不能同时除以二次项系数a）合并常数项得224()24bacbaxaa（作为公式记忆，一步化到位）此时可知当2bxa时，2axbxc有最大值（0a）最大值为244acba当2bxa时，2axbxc有最小值（.0a）最小值为244acba3、平均增长率问题:（设月增长率为x）①一月产量为a，二、三月平均增长率为x，三月产量为b，则有2(1)axb②一月产量为a，二、三月平均增长率为x，第一季度产量为b，则有2(1)(1)aaxaxb4、翻几番增长率问题：（设年增长率为x）①两年翻一番，则2(1)2axa，解得2141.4%x（次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量a变成2a）②两年翻两番，则2(1)4axa，解得100%x（次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量a变成2a，再翻一番就变成了4a）5、互相握手、互相送礼问题：①互相握手：1(1)2nn握手次数（n是指人数）②互相送礼：(1)nn礼物总数（n是指人数）6、涨价总利润问题：（设涨价x元）总利润=（定价+上涨价格x—进价）（原销量—x每上涨的价格相应减少的销量每上涨的价格）7、降价总利润问题：（设降价x元）总利润=（定价—降价价格x—进价）（原销量+x每下降的价格相应增加的销量每下降的价格）第三章图形的相似（一）比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。nmbadcba如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbba或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。2、比例的性质（1）基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：cacb2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbca（交换内项）dcbaacbd（交换外项）abcd（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：cdabdcba（4）合比性质：ddcbbadcba（5）等比性质：banfdbmecanfdbnmfedcba)0(3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点值得关注的近似数：假设AB=1则AC0.618BC=AD0.382）ACB定义：510.6182ACCBABAC(510.6182较长最短最长较长)（二）平行线分线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。（三）相似图形1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。2、相似多边形：（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方（四）相似三角形的判定和性质1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比（2）相似三角形周长的比等于相似比（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。（五）相似三角形的应用测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子A物高：B物高=A影长：B影长（六）位似图形1、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。2、性质：（1）位似图形对应线段的比等于位似比。（2）位似图形的对应角都相等。（3）位似图形对应点连线的交点是位似中心。（4）位似图形面积的比等于位似比的平方。（5）位似图形高、周长的比都等于位似比。（6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上第四章锐角三角函数（一）正弦、余弦、正切1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°4