2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷

2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）化简，结果是（）A．6x﹣6B．﹣6x+6C．﹣4D．42．（5分）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0B．1C．2D．33．（5分）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=，q=．5．（5分）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为．6．（5分）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为．7．（5分）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有种不同的涂色方法．8．（5分）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．9．（5分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．10．（5分）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是．11．（5分）如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是．三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）12．（12分）完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理，也叫做加法原理．完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积，这就是分步计数原理，也叫做乘法原理．（Ⅰ）300人参加校内竞赛，每个人都可以享受加分政策，且有10，20，30，60四个档次．加分人数10302090301506030小王想获得至少30分的加分，那么概率为多少？（Ⅱ）某大学的录取分数线为660分，小王估得高考分数可能在630～639，640～649，650～659三个分段．（1）若小王的高考分数在630～639分段，则小王被该大学录取的概率为多少？（2）若小王的高考分数在三个分段的概率都是，则小王被该大学录取的概率为多少？13．（16分）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△AOC为等腰三角形，求点C的坐标．14．（14分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．15．（18分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．2016年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）化简，结果是（）A．6x﹣6B．﹣6x+6C．﹣4D．4【分析】先求出x的取值范围，再化简，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴，∴x≥，∴=﹣（）2=3x﹣1﹣（3x﹣5）=4．故选：D．【点评】本题考查根式与分数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意根式与分数指数幂的性质及运算法则的合理运用．2．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】要求方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数，进行简单的化简得3（x﹣）2+（y+1）2=，然后进行讨论，可以得到结论．【解答】解：3x2+y2=3x﹣2y，3x2+y2﹣3x+2y=0，3（x﹣）2+（y+1）2=，当x=0时，y=0，即（0，0），当x=1时，y=0，即（1，0），当x=2时，y无解．当x≥2时，y均无解，综上所述方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为2．故选C．【点评】本题考查了二次二次方程的整数根的问题，属于中档题．3．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）由4个等边三角形拼成的四面体，四个面上分别由“弘”、“德”、“尚”、“学”四个字，把该四面体的包装纸展开如图，则阴影部分的字为（）A．弘B．德C．尚D．学【分析】由题意画出图形，得到剪展后的图形，可得阴影部分的字为“尚”．【解答】解：如图，不妨设面PAB上的字为“弘”，PBC上的字为“德”，PAC上的字为“学”，ABC上的字为“尚”，图形展开如图，则阴影部分的字为“尚”．故选：C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）4．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=17，q=2．【分析】先根据5p+3q=91可知p、q为一奇一偶，再由p和q为质数可知p、q中必有一数为2，再把p=2或q=2代入5p+3q=91求出另一未知数的对应值，找出符合条件的未知数的值即可．【解答】解：∵5p+3q=91，∴p、q为一奇一偶，∵p和q为质数，∴p、q中必有一数为2，当p=2时，q==27，27为合数，故舍去，当q=2时，p==17．故p=17，q=2．故答案为：17，2．【点评】本题考查了方程的解得问题，以及分类讨论的思想，属于基础题．5．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在2016的中间嵌入一个数字得到五位数20□16，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字□为2或9．【分析】能被7整除的数的特点，能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述的过程，直到能清楚判断为止．例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13﹣3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613﹣9×2=595，59﹣5×2=49，所以6139是7的倍数．【解答】解：设插入的数为x，则五位数为20x16，当x=0时，2001﹣6×2=1989，198﹣9×2=180，不能被7整除；当x=1时，2011﹣2×6=1999，199﹣9×2=181，不能被7整除；当x=2时，2021﹣2×6=2009，200﹣9×2=182，能被7整除；当x≥3时，20x0﹣2×6=20（x﹣2）8，20（x﹣2）﹣8×2=7k（k=26，27，…），只有当x=9时满足题意，综上可得，满足题意2或9．故答案为：2或9．【点评】本题考查数的整除性问题，难度较大，关键是掌握判断能被7整除的数的特点．6．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为﹣5或﹣6．【分析】作出函数的图象，利用直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，即可求出m的值．【解答】解：函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1=，函数图象如图所示，x＜2时，y=（x﹣1）2﹣6，x2﹣8x+7=x2﹣2x﹣5，∴x=2，y=﹣5．∵直线y=m与函数y=x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，∴m=﹣5或﹣6．故答案为：﹣5或﹣6．【点评】本题考查函数的图象，考查学生分析解决问题，正确作出函数的图象是关键．7．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）有一个五边形ABCDE，若把顶点A，B，C，D，E涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有30种不同的涂色方法．【分析】本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况，这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况，最后两个边有3种情况．根据计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；这时最后两个边有3种情况．∴方法共有3（2×2+2×3）=30种．故答案为：30．【点评】对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．8．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】先因式分解得到（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，即可得到只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，分别计算判断即可．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=2.8不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=8.4不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=12.4不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查了方程根的问题，关键是分类讨论，属于基础题．9．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．【分析】根据题意在AD上截取AH=AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值．【解答】解：如图，在AD上取点H，使AH=AD，连接BH交AC于O，则=，即AG=AO，又△AOH∽△COB，所以=，CO=AO，所以==．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用三角形相似的判定与性质是关键．10．（5分）（2016•黄州区校级自主招生）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是112°．【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE=∠B，又根据∠C=120°，∠A=26°可求出∠B的值，继而求出答案．【解答】解：由轴对称的性质知∠A′DE=∠B=180°﹣120°﹣26°=34°，∠BDE=180°﹣∠B=146°，故∠A'DB=∠BDE﹣∠A'DE=146°﹣34°=112°．故答案为：112°．【点评】本题考查了轴对称的性质及三角形中位线定理，根据题意得出各角之间的关系是关键．11．（5分）（20