专题六动态问题

专题六动态问题专题命题规律1．动态问题为河北中考的常考点，近8年共考查8次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且都是以解答题形式出现，分值为9～12分．2．考查类型：(1)几何图形中的动点问题(2012年25题，2010年25题，2009年26题，2008年26题)；(2)一次函数中的动点问题(2013年23题)；(3)二次函数中的动点问题(2011年26题)．2016预测预计2016年河北中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低．错误!错误!,中考重难点突破)一次函数中的动点问题【经典导例】【例1】(2013河北中考)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l∶y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．【解析】(1)，(2)求出直线与y轴的交点，以及P点坐标与t之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3)过点M作l的垂线，求出直线与坐标轴的交点，然后再来计算即可．【学生解答】【方法指导】k、b对一次函数图像y＝kx＋b的影响：①当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小；②k决定着一次函数图像的倾斜程度，|k|越大，其图像与x轴的夹角就越大；③b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴；④直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)；⑤直线y＝k1x＋b1、y＝k2x＋b2的几种位置关系：平行：k1＝k2，b1≠b2；重合：k1＝k2，b1＝b2；关于y轴对称：k1＋k2＝0，b1＝b2；关于x轴对称：k1＋k2＝0，b1＋b2＝0；垂直：k1k2＝－1.1．(2014天津中考)在平面直角坐标系中，O为原点，直线l∶x＝1，点A(2，0)，点E、点F、点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P.(1)若点M的坐标为(1，－1)．①当点F的坐标为(1，1)时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P(x，y)，求y关于x的函数解析式；(2)若点M(1，m)，点F(1，t)，其中t≠0.过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ＝PQ时，试用含t的式子表示m.2．(2014新疆中考)如图，直线y＝－43x＋8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t(s)(0＜t≤3)．(1)写出A，B两点的坐标；(2)设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？(3)当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似？直接写出此时点Q的坐标．二次函数中的动点问题【经典导例】【例2】(2011河北中考)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动t(t＞0)秒，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)、B(1，－5)、D(4，0)．(1)求c、b(用含t的代数式表示)；(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝218；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．【解析】(1)由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与点P的坐标代入方程即可求得c，b；(2)①当x＝1时，y＝1－t，求得点M的坐标，则可求得∠AMP的度数；②由S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；(3)根据图形，即可直接求得答案，分别分析左边有4，3，2，1，0个好点时，t的取值范围．【学生解答】1．(2015聊城中考)如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA＝4，AB＝3，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒(0＜x＜4)时，解答下列问题：(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；(2)设△OMN的面积为S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．2．(2015襄阳中考)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2015丹东中考)如图，已知二次函数y＝ax2＋32x＋c的图像与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数y＝ax2＋32x＋c的表达式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．几何图形中的动点问题【经典导例】【例3】如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，OA在x轴正半轴上，菱形的边长为6，∠AOC＝60°.动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿x轴正半轴的线路运动，动点Q以相同的速度从点C同时出发沿路线CB－BA运动．当点Q到达点A后，两点同时停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t(s)，△CPQ的面积为S.(1)求点C的坐标；(2)当t为何值时，PC⊥AB？请说明理由；(3)①当点Q在AB边上时，求S与t之间的函数关系式；②当t为何值时，点Q落在直线PC上？为什么？【解析】(1)如解图①，过点C作CD⊥OA，交x轴于点D.就可以求出OD的值，由勾股定理就可以求出CD的值，进而求出结论；(2)当PC⊥AB时，由菱形的性质就可以求出∠OPC＝30°，就可以求出∠PCO＝90°，由直角三角形的性质就可以求出OP的值，就可以得出结论；(3)如解图②：①过点Q作QE⊥OA，交x轴于点E，过点A作AF⊥OC于F，就可以求出QE的值，由四边形OAQC的面积＋△APQ的面积－△OPC的面积就可以求出结论；②根据①的解析式，当S＝0时，求出t的值即可．【学生解答】【方法指导】动态问题中求图形面积(S)与时间(t)的基本步骤：1.设动点运动的时间为t；2.找到并标出动点的运动路线，并找到动点运动过程中的转折点(即从某一条边运动到另一条边的时刻)，再以此转折点为分类指标进行分类讨论，求出每个运动轨迹上的图形面积S与t之间的函数关系式；3.图形面积S与时间t之间的函数关系式的求解分为两种情况：(1)若所求图形的某些边在动点的运动轨迹上，且图形是规则的(如三角形、矩形、正方形、圆)，则可直接求解：①若所求图形为三角形，则用含t的代数式表示出三角形的底，再用勾股定理、三角形相似、线段成比例等知识求出高，从而得出图形面积与时间t之间的关系；②若所求图形为矩形、正方形，则用含t的代数式表示出其边长，用面积公式即可求出图形面积与时间t之间的关系；③若所求图形为圆，则用含t的代数式表示出其半径，用圆的面积公式即可得出图形面积与时间t之间的关系；(2)若所求图形的边都不在动点的运动轨迹上，则需利用割补法将所求图形转化为边在动点运动轨迹上的图形(可以是三角形、矩形、正方形、圆，也可以是几个图形的面积和差)，再利用(1)中的方法进行求解．1．(2015辽宁中考)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从D点出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR.当点Q到达A时，点P、Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR和△ABC重合部分的面积为S.S关于x的函数图像如图2所示(其中0＜x≤87，87＜x≤m时，函数的解析式不同)．(1)填空：n的值为________；(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．2．(2015绵阳中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒．连接BM并延长交AG于N.(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝NH；(3)过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．拓展类型动图问题1．(2015太原中考)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y＝－421x2＋1621x＋4.抛物线W与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C，D两点．(1)求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式；(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位(0＜m≤5)，得到△A′C′D′，设A′C′交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN.求四边形CMNC′的面积(用含m的代数式表示)．2．(2015苏州中考)如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB＝43cm，AD＝4cm.若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t(s)．(1)如图①，连接OA，AC，则∠OAC的度数为____°；(2)如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长)；(3)在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)．当d＜2时，求t的取值范围．(解答时可以利用备用图画出相关示意图)