专题一阴影部分图形的有关计算

专题一阴影部分图形的有关计算解题策略通过等量代换将不规则的图形转化为常见图形解决．方法有：和差法、变换法、代数法．预计2017年中考仍然会以填空或选择形式考查此内容，务必针对强化训练．求阴影部分图形面积【经典导例】【例1】(2016保定一模)如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD＝60°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为________．【解析】要求不规则图形的面积，可转化成规则图形面积的和差关系求解．如解图，连接OA、OB、OC，则旋转角为∠AOC＝90°，且∠OCD＝∠OAD，又∵∠BAD＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠CBA＝120°，∠BCD＝60°，∵∠CBA＋∠BCO＋∠COA＋∠OAB＝360°，∴∠OCD＝∠OAD＝15°，∴∠BAO＝∠BCO＝75°，∴∠AOB＝45°，由题意知△ABD是等边三角形，作BD边上的高AE，∵AB＝2，∴AE＝3，OE＝AE＝3，∴OD＝3－1，∴S△AOD＝12×(3－1)×3＝32－32.根据旋转的特征可知S阴影部分＝8S△AOD＝8×(32－32)＝12－43.【学生解答】【方法指导】求阴影部分面积往往都是不规则图形，所以把不规则的图形的面积问题转化为规则图形的面积是解决这类问题的主要思路，以下介绍几种常用的方法：1.和差法：不改变图形的位置，用规则图形面积的和或差表示，经过计算即得所求图形面积；2.移动法：通过平移、旋转、割补、等体积变换等将图形的位置进行移动求解；3.代数法：借助于列方程(组)，通过解方程求解．本题则是通过作辅助线把不规则图形转化为规则图形，利用和差关系算出部分阴影面积，进而计算出全部阴影图形的面积．1．(2016邯郸二模)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a2(第1题图)(第2题图)2．(2016泰安中考)如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A．(π2－1)cm2B．(π2＋1)cm2C．1cm2D.π2cm23．(2016毕节中考)如图所示，两个面积都为6的正六边形并排摆放，它们的一条边相互重合，那么图中阴影部分的面积为()A．2B．3C．4D．6(第3题图)(第4题图)4．(2016原创预测)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若BC＝16，AB＝10，则图中阴影部分的面积是()A．12B．24C．36D．485．(2016绵阳中考)如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为________cm2(结果保留π)．(第5题图)(第6题图)6．(2015广东中考)如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．7．(2016白银中考)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．(第7题图)(第8题图)8．(2016烟台中考)如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于________．9．(2016沧州二模)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于________．(第9题图)(第10题图)10．(2015河南中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC︵′，则图中阴影部分的面积为________．求阴影部分图形的周长【经典导例】【例2】(2015原创预测)如图，将等腰直角△ABC沿斜边BC方向平移得到△A1B1C1，若AB＝3，△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为2，则重叠部分图形的周长为________．【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝3，∴S△ABC＝3×3×12＝92，又∵△ABC与△HB1C相似，∴S△ABC∶S阴影＝(ABB1H)2，∴B1H＝2，在△HB1C中，B1C＝2B1H＝22，∴△B1HC周长为2＋2＋22＝4＋22.【学生解答】【方法指导】此类问题涉及到的阴影部分图形一般为不规则的图形，解决的方法有以下三种：1.在规则图形中找与所求图形存在数量关系的边，利用勾股定理或锐角三角函数求得线段长度，有时会涉及到弧长；2.将所求图形进行平移、拼接，转化为规则图形的和差关系求解；3.构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解．此题阴影部分为规则的三角形，且已知直角三角形的边与阴影部分的面积，首先应考虑运用相似三角形相似比及勾股定理，求出阴影部分图形的边长，进而计算出周长．1．(2015唐山一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为()A．72cmB．36cmC．18cmD．30cm(第1题图)(第2题图)2．如图，矩形花坛ABCD的周长为36m，AD＝2AB，在图中阴影部分种植郁金香，则种植郁金香部分的周长约为()A．18.84mB．30.84mC．42.84mD．48m3．(2016唐山二模)把四张大小相同的长方形卡片(如图①)按图②、图③两种方式放在一个底面为长方形(长比宽多6cm)的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为C2，图③中阴影部分的周长为C3，则()A．C2＝C3B．C2比C3大12cmC．C2比C3小6cmD．C2比C3大3cm4．如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为________．5．如图，将边长为2的正方形沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得到新正方形A′B′C′D′，则新正方形与原正方形重叠部分四边形A′NCM的周长是________．(第5题图)(第6题图)6．如图，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的边长均为1，PU、PQ与FE、CD的交点为M，N，且PM＝0.6，则阴影部分的周长是______．7．(2016原创预测)如图，菱形花坛ABCD的周长为36cm，∠B＝60°，其中由两个正六边形拼接而成的图形部分种花，其余“四个角”是绿草地，则种花部分的图形的周长(不计拼接重合的边)为________cm.(第7题图)(第8题图)8．如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(阴影部分)的周长为________．