2010年湖北省黄冈市第25届初中语数英综合测评数学试卷

2010年湖北省黄冈市第25届初中语数英综合测评数学试卷一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若实数a、b、c、d满足a+1=b﹣2=c+3=d﹣4，则a、b、c、d这四个实数中最大的是（）A．aB．bC．cD．d2．（5分）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）A．3B．4C．5D．63．（5分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（）A．1B．1或2C．2D．2或34．（5分）关于x满足，且|x﹣3|﹣|x+2|的最大值为p，最小值为q，则pq的值是（）A．6B．5C．﹣5D．﹣15．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）6．（5分）已知=．7．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为．8．（5分）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的情况有种．9．（5分）如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF的长为．10．（5分）对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc）．若（1，2）⊕（p，q）=（5，0），则p=，q=．三、解答题（共5小题，满分50分）11．（8分）利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；（2）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．12．（10分）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．13．（10分）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？14．（10分）如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上．若AB=，其中m、n是整数，求m+n的值．15．（12分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．2010年湖北省黄冈市第25届初中语数英综合测评数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）（2011•黄陂区校级自主招生）若实数a、b、c、d满足a+1=b﹣2=c+3=d﹣4，则a、b、c、d这四个实数中最大的是（）A．aB．bC．cD．d【分析】根据题目所给等式进行依次化简，然后进行比较即可得出答案．【解答】解：∵a+1=b﹣2，∴b=a+3，即b＞a，∵b﹣2=c+3，∴b=c+5，即b＞c，∵c+3=d﹣4，∴d=c+7，即d＞c，∵b﹣2=d﹣4，∴d=b+2，即d＞b，据上可得：d最大．故答案为：D．【点评】本题主要考查了实数的加减及实数大小的比较，解题时需要依次转化，比较简单．2．（5分）（2009•綦江县）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义．【解答】解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，则△ABP面积y在BC段随x的增大而增大；在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD的面积是=3．故选A．【点评】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．3．（5分）（2010•泰兴市模拟）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（）A．1B．1或2C．2D．2或3【分析】利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“x2”与面“3x﹣2”相对，面“★”与面“x+1”相对；再由题意可列方程求x的值，从而求解．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x﹣2”相对，面“★”与面“x+1”相对．因为相对两个面上的数相同，所以x2=3x﹣2，解得x=1或x=2，又因为不相对两个面上的数值不相同，当x=2时，x+2=3x﹣2=4，所以x只能为1，即★=x+1=2．故选C．【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．（5分）（2012•麻城市校级模拟）关于x满足，且|x﹣3|﹣|x+2|的最大值为p，最小值为q，则pq的值是（）A．6B．5C．﹣5D．﹣1【分析】先解不等式确定x的取值范围，再计算出|x﹣3|﹣|x+2|的最大值与最小值为，最后求最大值与最小值的积即可．【解答】解：原不等式两边两乘6得：3（3x﹣1）﹣14≥6x﹣2（5+2x），去括号得：9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4x，解得：x≥1．即x+2总是大于0，故x+2的绝对值为x+2，当x≥3时，|x﹣3|﹣|x+2|=x﹣3﹣x﹣2=﹣5；当1≤x＜3时，|x﹣3|﹣|x+2|=3﹣x﹣x﹣2=1﹣2x，当x=1时，取得最大值为﹣1．故|x﹣3|﹣|x+2|的最大值为p=﹣1，最小值为q=﹣5，则pq=（﹣1）×（﹣5）=5．故选B．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法及绝对值非负数的性质，这是考试中经常出现的题目类型．5．（5分）（2006•宁波）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．4【分析】求△ADE的面积，已知底AD=3，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，EF就是高，然后再找和高相等的等量关系，三角形EDF全等于三角形CDG，EF=CG=2，则△ADE的面积就能求出来．【解答】解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°，∴∠EDF=∠CDG，又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC，∴△EDF≌△CDG（AAS），∴EF=CG，∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2，∴EF=2，∴S△ADE=×AD×EF=×3×2=3．故选C．【点评】本题需要把旋转的性质、三角形的面积公式结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．注意旋转变化前后，对应角相等．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）6．（5分）（2012•麻城市校级模拟）已知=．【分析】根据，两边平方可取消根号，得，解此一元二次方程，可得a=分别将a=与代入式子，与比较，舍去，所以a=．转化代入求值即可．【解答】解：∵⇒⇒⇒a2﹣7a+1=0，解得a=，经检验，当a=，=＜0与矛盾，故舍去．所以，当a=，则==．故答案为：．【点评】本题考查完全平方式．解决本题的关键是利用完全平方式求出a的值，并验证，得到a的最终结果．7．（5分）（2012•乐平市校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为0或．【分析】先根据一元二次方程x2﹣4x+k=0的根的判别式确定k的值，然后求的该方程的两个根，然后将两个根分别代入方程x2+mx﹣1=0，并解得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=16﹣4k＞0，解得k＜4，∴k的最大整数值是3，即k=3；∴x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，解得，x=1或x=3；①当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=1时，1+m﹣1=0，解得m=0；②当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=3时，9+3m﹣1=0，解得m=；综合①②知，符合条件的m的值为0或．故答案为：0或．【点评】本题考查了根的判别式．解答此题时需要注意要分类讨论：①当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=1时m的值；②当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=3时m的值．8．（5分）（2012•麻城市校级模拟）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的情况有2种．【分析】将题中条件两两结合，进而求解三角形全等即可，若不能得出全等，则条件不成立，最后总结即可得出结论．【解答】解：若使△BEC为等腰三角形，即求解BE=CE即可．若抽取的两张为①②，则可得出△ABE≌△DCE，∴BE=EC；若是①③，AE=DE，AB=CD，并不能得出△ABE≌△DCE，∴这种情况不成立；若是①④，则可得出△ABE≌△DCE，∴BE=EC；若是②③，同样可得△ABE≌△DCE，∴BE=EC；若是②④，三个角相等，但边长并不一定相等，则不成立，若是③④，同样可得BE=EC，所以不符合条件的情况共有2种．故答案为：2．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定问题，应熟练掌握．9．（5分）（2013•蚌埠校级自主招生）如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF的长为2．【分析】设BE=x．BF=y，由面积关系列方程，再由AC∥FB得CE：BE=AC：FB，即=，同理可得=，两式变形，得出x+y=6，最后用勾股定理，解得EF为2．【解答】解：设BE=x，BF=y．∵“L”形面积为6，S阴影=6﹣BE•BF=3，∴xy=6，再由AC∥FB得△ACE∽△FBE，∴CE：BE=AC：FB，即=，整理，得xy﹣x﹣y=0，即x+y=6，EF2=BE2+BF2=x2+y2=（x+y）2﹣2xy=24，∴EF=2．【点评】本题考查相似三角形的性质，正方形的性质以及勾股定理的运用．10．（5分）（2009•孝感）对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc）．