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第1页（共25页）2017年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知实数x，y，z适合x+y=6，z2=xy﹣9，则z=（）A．±1B．0C．1D．﹣12．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0无实数根，则一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知实数a，b（其中a＞0）满足，b2+b=4，则的值是（）A．B．C．D．4．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4B．4C．8或﹣4D．85．已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（）A．1B．C．2D．6．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9B．12C．13D．12或138．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S=a+b﹣c，则S的取值范围是（）A．S≤﹣3B．S＜2C．S≤2D．S＜﹣39．函数y=2x2+4x﹣5中，当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）A．﹣3≤y≤1B．﹣7≤y≤1C．﹣7≤y≤11D．﹣7≤y＜1110．如图是二次函数y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结第2页（共25页）论：①b2＞4ac，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）A．②④B．①④C．②③D．①③二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）11．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式值为．12．定义新运算“*”规则：a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=．13．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=．14．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=．15．关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1=0只有一个实数根，则a的取值范围是．16．已知二次函数f（x）=x2﹣2x﹣n2﹣n的图象与x轴的交点为（an，0），（bn，0），则式子++…++++…+=．17．若二次函数y=x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y=的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是．18．函数y=ax+6（其中a，b是整数）的图象与三条抛物线y=x2+3，y=x2+6x+7，y=x2+4x+5分别有2、l、0个交点，则（a，b）=．三．解答题（共5小题，合计58分。）19．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．（12分）第3页（共25页）20．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．（10分）21．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．（10分）23．已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．（12分）第4页（共25页）24．已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）图象的顶点G在直线AB上，其中A（﹣，0）、B（0，3），对称轴与x轴交于点E．（14分）（1）求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式；（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜x≤时，抛物线y随x增大而增大？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．第5页（共25页）2017年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知实数x，y，z适合x+y=6，z2=xy﹣9，则z=（）A．±1B．0C．1D．﹣1【分析】题目中已知x+y=6及xy=z2+9，容易得知x，y为根的二次方程t2﹣6t+z2+9=0，再根据根的判别式即可求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x+y=6，z2=xy﹣9即xy=z2+9，∴以x，y为根的二次方程为t2﹣6t+z2+9=0，其中△=36﹣4（z2+9）=﹣4z2≥0，所以z=0．故选B．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式的运用，难度适中，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．2．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0无实数根，则一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据判别式的意义得到m≠0且△=（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象经过第一、三象限，且与y轴的交点在x轴下方．【解答】解：根据题意得m≠0且△=（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1，∵m﹣1＞0，﹣m＜0，∴一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象经过第一、三、四象限．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当第6页（共25页）△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．3．已知实数a，b（其中a＞0）满足，b2+b=4，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据a+=4解关于的一元二次方程即可得出a，再根据b2+b=4求出b，从而得出的值即可．【解答】解：∵a+=4，b2+b=4，∴解关于、b的一元二次方程可得出=，b=，∵a＞0，∴=，b=，∴a=，∴=+，即=+或=+，∴=或=；故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系，无理方程以及代数式求值、用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解此题的关键．4．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4B．4C．8或﹣4D．8【分析】根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得第7页（共25页）m的值．【解答】解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．【点评】本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．5．已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（）A．1B．C．2D．【分析】设a﹣b=x，ab=t，再将转化成a﹣b，ab的形式，从而求出a﹣b，ab的值，再确定出ab的最大值．【解答】解：设a﹣b=x，ab=t，=∴，△=b2﹣4ac=8﹣8t≥0，∴t≤1仅当时，a﹣b=2，ab=1成立，第8页（共25页）故选A．【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程以及根的判别式，是基础知识要熟练掌握．6．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．第9页（共25页）方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9B．12C．13D．12或13【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+12=0得第三边的边长为3或4．∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为4，∴这个三角形的周长是3+6+4=13．故选C．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于第10页（共25页）两边的和．8．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S=a+b﹣c，则S的取值范围是（）A．S≤﹣3B．S＜2C．S≤2D．S＜﹣3【分析】将A、B两点的坐标代入得出关于a、b、c的方程组，将a看做常数解次方程组得，将其代入得S=a+b﹣c=2a﹣2，结合二次函数的图象与性质知a＜0、c=2a+1≤0，据此得出a的范围，继而可得S的范围，即可得出答案．【解答】解：由题意，得：，解得：，则S=a+b﹣c=a+（3a﹣1）﹣（2a+1）=2a﹣2，由抛物线过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限知a＜0，∴c=2a+1≤0，解得a≤﹣，∴S=2a﹣2≤﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图形与性质是解题的关键．9．函数y=2x2+4x﹣5中，当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）A．﹣3≤y≤1B．﹣7≤y≤1C．﹣7≤y≤11D．﹣7≤y＜11【分析】根据a＞0，抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可得答案．【解答】解：y=2x2+4x﹣5的对称轴是x=﹣1，当x=﹣1时，y最小=﹣7，当x=﹣3时，y=2×（﹣3）2+4×（﹣3）﹣5=1，当x=2时，y=2×22+2×4﹣5=11，当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是﹣7≤y＜11．第11页（共25页）故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用了函数的增减性：a＞0，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac，②2a+b=0；③a