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第二章运算方法和运算器2.1数据与文字的表示方法2.2定点加法、减法运算2.3定点乘法运算2.4定点除法运算2.5定点运算器的组成2.6浮点运算方法和浮点运算器2.1数据与文字的表示方法2.1.1数据格式计算机中常用的数据表示格式有两种:1定点格式2浮点格式一般来说，定点格式容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。而浮点格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂。1.定点数的表示方法定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记号“.”来表示。通常将数据表示成纯小数或纯整数。定点数ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn在定点机中表示如下(ｘ0:符号位，0代表正号，1代表负号):纯小数的表示范围为(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn各位均为0时最小；各位均为1时最大)0≤|ｘ|≤1－2－n(2.1)纯整数的表示范围为0≤|ｘ|≤2n－1(2.2)目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算。电子的质量(9×10－28克)和太阳的质量(2×1033克)相差甚远，在定点计算机中无法直接来表示这个数值范围.要使它们送入定点计算机进行某种运算，必须对它们分别取不同的比例因子，使其数值部分绝对值小于1，即：9×10－28＝0.9×10－272×1033＝0.2×1034这里的比例因子10－27和1034要分别存放在机器的某个存储单元中，以便以后对计算结果按这个比例增大。显然这要占用一定的存储空间和运算时间。因此得到浮点表示法如下：2.浮点数的表示方法浮点表示法：把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存储单元中分别予以表示，这种把数的范围和精度分别表示的方法，相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动，称为浮点表示法。任意一个十进制数Ｎ可以写成Ｎ＝10E.Ｍ(2.3)同样在计算机中一个任意进制数Ｎ可以写成Ｎ＝Ｒe.Ｍ(2.4)Ｍ：尾数，是一个纯小数。e：比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数。R：比例因子的基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般规定Ｒ为2，8或16。一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成（尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数决定了浮点数的表示精度；阶码：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。）：32位浮点数的IEEE754标准格式为：64位浮点数的IEEE754标准格式为：在IEEE754标准格式表示的32位浮点数中，Ｓ：浮点数的符号位，1位，0表示正数，1表示负数。Ｍ：尾数，23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面。Ｅ：阶码，8位阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数。移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便，因为阶码域值大者其指数值也大。采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码Ｅ时，应将指数e加上一个固定的偏移值127(01111111)，即Ｅ＝e＋127.IEEE754标准中，一个规格化的32位浮点数ｘ的真值可表示为ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127e＝Ｅ－127一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023e＝Ｅ－1023为提高数据的表示精度，当尾数的值不为0时，尾数域的最高有效位应为1,否则以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一表示形式，这称为浮点数的规格化表示。当浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。当阶码E为全0且尾数M也为全0时，表示的真值x为零，结合符号位S为0或1，有正零和负零之分。当阶码E为全1且尾数M为全0时，表示的真值x为无穷大，结合符号位S为0或1，也有+∞和-∞之分。这样在32位浮点数表示中，要除去E用全0和全1(255)10表示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值不选128(10000000)，而选127(01111111)。对于规格化浮点数，E的范围变为1到254，真正的指数值e则为-126到+127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是10-38~1038（以10的幂表示）。浮点数所表示的范围远比定点数大。一台计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示,要根据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机以上的计算机中同时采用定点、浮点表示,由使用者进行选择,而单片机中多采用定点表示。[例1]若浮点数ｘ的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。[例2]将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。[例1]若浮点数ｘ的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。[解:]将十六进制数展开后，可得二进制数格式为指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10包括隐藏位1的尾数1.M＝1.01101100000000000000000＝1.011011于是有ｘ＝(－1)s×1.M×2e＝＋(1.011011)×23＝＋1011.011＝(11.375)10[例2]将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。[解:]首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.59375＝10100.10011然后移动小数点，使其在第1，2位之间10100.10011＝1.010010011×24e＝4于是得到：S＝0，E＝4＋127＝131，M＝010010011最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：01000001101001001100000000000000＝(41A4C000)163.十进制数串的表示方法目前，大多数通用性较强的计算机都能直接处理十进制形式表示的数据。十进制数串在计算机内主要有两种表示形式：(1)字符串形式：一个字节存放一个十进制的数位或符号位。为了指明这样一个数，需要给出该数在主存中的起始地址和位数(串的长度)。(2)压缩的十进制数串形式：一个字节存放两个十进制的数位。它比前一种形式节省存储空间，又便于直接完成十进制数的算术运算，是广泛采用的较为理想的方法。4.自定义数据表示在传统的计算机体系结构中，用指令本身来说明操作数据的类型。如定点加法表示操作数是纯小数或纯整数；浮点加法表示操作数是浮点数；十进制加法表示操作数是BCD数。由于操作数据类型不同，要设三种不同的指令(操作码)来加以区分。自定义数据表示则用数据本身来说明数据类型。表示形式有两种，即标志符数据表示和描述符数据表示。描述符数据表示主要用来描述多维结构的数据类型，如向量、矩阵、记录等。描述符标志位部分指明这是一个数据描述符；特征标记部分指明数据的各种特征；长度部分指明数组中元素个数；起始地址部分指明数据块的首地址。其格式为：标志符数据表示要求对每一个数据都附加标志符。其指明后面的数据所具有的类型，如整数、浮点数、BCD数、字符串等，其格式如下：标识符数据描述符标志位特征标记数据块长度数据块起始地址2.1.2数的机器码表示在计算机中对数据进行运算操作时，为了妥善的处理好符号位问题，就产生了把符号位和数字位一起编码来表示相应的数的各种表示方法，如原码、补码、反码、移码等。为了区别一般书写表示的数和机器中这些编码表示的数，通常将前者称为真值，后者称为机器数或机器码。常用的机器码表示法：1.原码表示法2.补码表示法3.反码表示法4.移码表示法1.原码表示法若定点小数的原码形式为ｘ0.ｘ1ｘ2…ｘn，则原码表示的定义是：{ｘ1＞ｘ≥0[ｘ]原＝1－ｘ＝1＋|ｘ|0≥ｘ＞－1式中[ｘ]原是机器数，ｘ是真值若定点整数的原码形式为ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn，则原码表示的定义是{ｘ2n＞ｘ≥0[ｘ]原＝2n－ｘ＝2n＋|ｘ|0≥ｘ＞－2n对于0，原码机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式：[+0]原=0.000...0[-0]原=1.000...0采用原码表示法简单易懂，但它的最大缺点是加法运算复杂。这是因为，当两数相加时，如果是同号则数值相加；如果是异号，则要进行减法。而在进行减法时还要比较绝对值的大小，然后大数减去小数，最后还要给结果选择符号。为了解决这些矛盾，人们找到了补码表示法。2.补码表示法我们先以钟表对时为例说明补码的概念。假设现在的标准时间为4点正；而有一只表已经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退7-4=3格；一是将时针向前拨12-3=9格。这两种方法都能对准到4点，由此可以看出，减3和加9是等价的，就是说9是(-3)对12的补码，可以用数学公式表示:-3＝+9（mod12）mod12的意思就是12模数，这个“模”表示被丢掉的数值。上式在数学上称为同余式。上例中其所以7-3和7+9(mod12)等价，原因就是表指针超过12时，将12自动丢掉，最后得到16-12=4。从这里可以得到一个启示，就是负数用补码表示时，可以把减法转化为加法。这样，在计算机中实现起来就比较方便。7–3=47+9=4以12取模数(mod12)-3=+9（mod12）采用补码表示法进行减法运算就比原码方便得多了。因为不论数是正还是负，机器总是做加法，减法运算可变为加法运算。关键是我们需要换算出两个操作数的补码表示。若定点小数补码形式为ｘ0.ｘ1ｘ2…ｘn，则补码表示的定义是：{ｘ1＞ｘ≥0[ｘ]补＝2＋ｘ＝2－|ｘ|0≥ｘ≥－1(mod2)若定点整数补码形式为ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn，则补码表示的定义是：{ｘ2n＞ｘ≥0[ｘ]补＝2n+1+ｘ＝2n+1－|ｘ|0≥ｘ≥－2n(mod2n＋1)根据补码定义,求负数的补码要从2减去|x|。为了用加法代替减法,结果还得在求补码时作一次减法,这显然是不方便的。下面介绍的反码表示法可以解决负数的求补问题。3.反码表示法所谓反码，就是二进制的各位数码0变为1，1变为0。也就是说，若Xi=1，则反码为xi=0；若xi=0，则反码xi=1。数值上面的一横表示反码的意思。在计算机中用触发器寄存数码，若触发器Q端输出表示原码，则其Q端输出就是反码。由此可知，反码是容易得到的。若定点小数反码形式为ｘ0.ｘ1ｘ2…ｘn，则反码表示的定义是：{ｘ1＞ｘ≥0[ｘ]反＝(2－2-n)＋ｘ0≥ｘ＞－1一般情况下，对正数和负数的ｘ值，ｘ＝＋0.ｘ1ｘ2…ｘn，则[ｘ]反＝0.ｘ1ｘ2…ｘnｘ＝－0.ｘ1ｘ2…ｘn，则[ｘ]反＝1.ｘ1ｘ2…ｘn若定点整数反码形式为ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn，则反码表示的定义是：{ｘ2n＞ｘ≥0[ｘ]反＝(2n+1－1)＋ｘ0≥ｘ＞－2n我们比较反码与补码的公式，对于负数有：定点小数[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ[ｘ]补＝2＋ｘ可得到[ｘ]补＝[ｘ]反＋2－n定点整数[ｘ]反＝(2n+1－1)＋ｘ[ｘ]补＝2n+1+ｘ可得到[ｘ]补＝[ｘ]反＋1这就是通过反码求补码的重要公式。这个公式告诉我们，若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变0，然后在最末位(2-n)上加1。4.移码表示法移码通常用于表示浮点数的阶码。由于阶码是个n位的整数，假定定点整数移码形式为ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn时，对定点整数移码的传统定义是：[ｘ]移＝2n＋ｘ2n＞ｘ≥－2n若阶码数值部分为5位，以ｘ表示真值，则：[ｘ]移＝25＋ｘ25＞ｘ≥－25小结：上面的数据四种机器表示法中，移码表示法主要用于表示浮点数的阶码。由于补码表示对加减法运算十分方便，因此目前机器中广泛采用补码表示法。在这类机器中，数用补码表示，补码存储，补码运算。也有些机器，数用原码进行存储和传送，运算时改用补码。还有些机器在做加减法时用补码运算，在做乘除法时用原码运算。[例5]设机器字长16位,定点表示,尾数15位,数符1位,问：(1)定点原码整数表示时，最大正数是多少?最小负数是多少?(2)定点原码小数表示时，最大正数是多少?最小负数是多少?;[解:](1)定点原码整数表示最大正数值＝(215－1)10＝(＋32767)10最小负数值＝－(215－1)10＝(－32767)10(2)定点原码小数表示最大正数值＝(1－2－15