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第12章整式的乘除微专题2因式分解的综合运用专题解读因式分解是初中数学中重要的基本知识与基本技能，是代数式恒等变形与运算的重要工具．在进行因式分解时，一般都要遵循“一提”(提取公因式)、“二看”(看符合哪个公式)、“三变”(改变多项式的结构)、“四查”(查漏补缺)原则．因式分解的综合运用整体思维因式分解和用因式分解求值利用因式分解判定三角形形状利用因式分解定正负专题训练类型1多种因式分解方法的综合考查1.多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是()A．x－1B．x＋1C．x2－1D．(x－1)2A2.a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果是()A．a2b(a2－6a＋9)B．a2b(a＋3)(a－3)C．b(a2－3)2D．a2b(a－3)23.把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是()A．a2(a2－2b2)＋b4B．(a2－b2)2C．(a－b)4D．(a＋b)2(a－b)2DD4.分解因式：(1)m2－n2－n(m＋n)(m－n)；解：原式＝(m＋n)(m－n)－n(m＋n)(m－n)＝(m＋n)(m－n)(1－n)；(2)a2(a＋2b)2－9(a＋b)2；解：原式＝(a2＋2ab＋3a＋3b)(a2＋2ab－3a－3b)；(3)x2－5x＋15y－9y2；(改变结构，分组分解法)解：原式＝(x－3y)(x＋3y－5)；(4)(a－1)(a－2b－1)＋b2；(先计算，再分解)解：原式＝(a－1－b)2；(5)m3－3m2－4m；解：原式＝m(m－4)(m＋1)；(6)bc(b＋c)＋ac(c－a)－ab(a＋b)．(先计算，再分解)解：原式＝b2c＋bc2＋ac2－a2c－a2b－ab2＝c2(a＋b)－c(a2－b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)[c2－c(a－b)－ab]＝(a＋b)[c(c－a)＋b(c－a)]＝(a＋b)(b＋c)(c－a)．类型2运用因式分解求值5.若代数式x2＋ax可以分解因式，则常数a不可以取()A．－1B．0C．1D．2B6.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是()A．3B．2C．1D．－1A7.用简便方法计算20182－4036×2017＋20172的结果是．8.已知2m＝28，求4m－3·2m＋1＋9的值．解：4m－3·2m＋1＋9＝(2m)2－3×2×2m＋9＝(2m)2－6×2m＋32＝(2m－3)2.当2m＝28时，原式＝252＝625.19.分解因式a3b＋2a2b2＋ab3，并求出当a＋b＝4，ab＝38时，这个代数式的值．解：a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝4，ab＝38时，原式＝ab(a＋b)2＝38×42＝6.类型3因式分解在几何中的应用10.如图，在一块边长为acm的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为bcm的正方形(b＜a2)，再把四周沿虚线折起，制成一个无盖的长方体盒子．当a＝150，b＝25时，制作这样一个长方形盒子至少需要铁皮多少平方厘米？解：S剩＝a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)，当a＝150，b＝25时，S剩＝20000(cm2)．11.已知a，b，c为△ABC的三边长，求证：(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)，∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0，∴(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.12.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是．解：或a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)．(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(a＋3b)(2a＋b)＝2a2＋7ab＋3b2，那么需用2号卡片张，3号卡片张．37类型4阅读理解题13.(2017·百色)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．(1)二次项系数2＝1×2；(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；1×3＋2×(－1)＝11×(－1)＋2×3＝51×(－3)＋2×1＝－11×1＋2×(－3)＝－5(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1，即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝．(x＋3)(3x－4)14.先阅读下列材料，再解答下列问题．材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.上述解题中用到的是“整体思想”．整体思想是数学解题中常用的一种思想，你能用整体思想解答下列问题吗？问题：(1)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；(2)证明：若n为正整数，则式子n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)＋1的值一定是某一个整数的平方．解：(1)令a＋b＝A，则(a＋b)(a＋b－4)＋4＝A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2＝(a＋b－2)2.(2)证明：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝[n(n＋3)][(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1.令n2＋3n＝B，则原式＝B(B＋2)＋1＝B2＋2B＋1＝(B＋1)2＝(n2＋3n＋1)2.∴式子n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1的值一定是某一个整数的平方．