第八章固体中的热传导

1第八章固体中的热传导Chapter8ConductionofHeatinSolids28.1傅立叶导热定律及导热系数Fourier’sLawandThermalConductivityofMaterials一、傅立叶导热定律(Fourier’sLaw)傅立叶导热定律是描述以导热方式传热热流密度的基本表达式。傅立叶导热定律是个实验定律，即根据实验规律总结出的一种定律。在导热传热中，将y方向上的导热热流密度(therateofheatflow)写为：(7-1)上式为一维方向上的傅立叶导热定律的形式。yTqy3在三维空间中傅立叶导热定律的表达式为：(1)式中q－热流密度［w/m2］；λ－导热系数［w/mk］(7-1)式和(1)式表明：某方向上的导热热流密度与该方向上的温度梯度成正比；负号表明传热方向与温度梯度方向相反，即导热热流方向为温度降低的方向；系数λ为导热系数，它表明物体的导热能力的大小，取决于导热物质的物理性质，通常λ取温度T变化。λ=λ(T)［w/m℃］(1)式还表明物质中某点P处最大导热热流的方向为P所在等温面的法线方向。nTnTq4由(1)还可知：即导热系数(thermalconductivity)在数值上等于物质中在单位温度梯度下产生的热流密度。在一定范围内，可以认为固体导热系数是温度的线性关系。λ=a+bTa－温度为0℃时的导热系数b－取决于物体本身的系数yTqy/5如改写傅立叶定律：式中：－导温系数（热扩散系数thermaldiffusivity）pcT－温度为T的物体的单位体积的热焓量α↑导热多，α↓热量传输慢。ypcTycppcTq)()(cp6二、不同物理状态下的物质导热系数ThermalConductivityofMaterialsinDifferentStates1、固体的导热系数ThermalConductivityofSolids固体的导热能力主要取决于晶体晶格振波的传递能力，及自由电子的传热能力（对金属、导电体）。大多数固体的导热能力主要由晶格的振动来导热，大多数金属也是如此，图8-1给出了不同金属的导热系数随温度的变化曲线，可见大多数金属的λ都是随T↑λ↓(T↑晶格节点分子/原子的振动能力增大，破坏了晶格的完整性，有碍于晶格波的传播，所以λ↓)。789造型材料的导热系数Thermalconductivityofmouldmaterials10112、气体的导热系数ThermalConductivityofGases气体中分子/原子之间的间距较大，气体的导热是气体分子/原子的激烈热运动和碰撞传递能量。可见温度T越高，气体分子/原子的碰撞越频繁，导热能力越强，因而导热系数越大。T↑λ气↑λ气与压力无关T0=273K，λ0为273K时的导热系数nTT)(00123、液体的导热系数ThermalConductivityofLiquids人们目前对液体的结构尚不十分清楚，还无法给出液体物质导热机制和能力大小的完整的数学描述。一般来讲液体的导热传热机制介于固体和气体之间，由于液体属于凝聚态物质，即密度与固体相近，近程有序的晶格波振动传输对液体的导热作用更大，近年来的研究也支持这一观点。如图所示：Al固相导热系数和液相导热系数在熔点上有一间断，突然下降，熔化使完整的晶格破坏为近程有序的晶格，晶格波传递能力下降。131415固体中的导热规律及温度的分布和变化的定量分析，对于冶金和材料热加工工艺过程的控制具有很重要的意义。事实上在热处理和锻造热加工工艺中，热传导是工件内部加热和冷却过程中的唯一传热方式，在焊接和铸造工艺中焊件和铸件凝固冷却过程的热量，均要通过工件的固相区中的纯导热方式散走。即使在液相区中有金属液对流传热方式，但液态金属的导热也起重要的作用，热传导是各种传热现象中最基本但最重要的传热方式。因此，研究固体中的导热传热，特别是导热热量传输率及对工件固相中的温度分布形式的定量描述，对于掌握传热过程的分析原理及认识传热现象的内在规律都具有重要意义。168.2导热微分方程及传热边界条件EnergyEquationforConductionandBoundaryConditionsinHeatTransfer一、传热体系的热能平衡关系式(EnergyBalance)建立定量描述某一体系中传热规律方程所基于的是传热体系的热能守恒定律(即能量守恒原理)。对于图示意的一个传热系统，其热能平衡(守恒)关系的文字表达为：[传入体系的热量]－[从体系传出的热量]＝[体系的热量增加量]Qin-Qout=Q热量输入Qin热量输出QoutQ17上述热能守恒关系式对任何不稳定传热系统(任何传热方式)都是成立的。对于稳定的传热体系，Q=0，则热能守恒关系式为：Qin-Qout=0()下面基于传热体系热能平衡基本关系导出固相体系以导热方式的基本导热微分方程，也称傅立叶导热第二定律。18二、导热微分方程－傅立叶导热第二定律GeneralDifferentialEquationforConduction在以纯导热方式传热的三维物系中任意一点P处，取一边长各为x,y,z的矩形六面微元体，如图示：V=xyz设：①固体的导热系数λ，密度p,比热cp（均为常数，各向同性）；②体系中无热源微元体与环境的导热热流见图19对于三维不稳定导热热能守恒，()式可写成：Q=[Qin-Qout]x+[Qin-Qout]y+[Qin-Qout]z其中：1、增量Q=xyz[(pCpT)t+t－(pCpT)t]2、x方向传入、传出热量的净差值：（入为正，出为负）[Qin-Qout]x=yzt(qx-qx+x)3、y方向传入、传出热量的净差值：[Qin-Qout]y=xzt(qy-qy+y)4、z方向传入、传出热量的净差值：[Qin-Qout]z=xyt(qz-qz+z)20将以上各项代入()式，两边同时除以xyzt，得：取极限t,x,y,z→0，得：zqqyqqxqqtTpcTpczzzyyyxxxtpttp)()(zqyqxqtTpczyxp21因是纯导热问题，qx,qy,qz可用傅立叶定律表示：将x,y,z三方向上的傅立叶第一导热定律式代入上式，得到描述三维不稳定导热的微分方程：(1)或zTqyTqxTqzyx)()()()(zTzyTyxTxtTpcp)()(TtTpcp22当p,cp和λ均设为常数时，以上方程为：(2)或：式中：α=λ/pcp称为导热物质的“热扩散系数”[m2/s](1)式或(2)式，称为导热微分方程（傅立叶导热第二定律）,（是T有关t,x,y,z的抛物型二阶段偏微分方程）)(222222zTyTxTtTTtT223柱坐标及球坐标CylindricalandSphericalCoordinates圆柱坐标:球坐标:当稳定导热(SteadyStateConduction)时:带热源的方程（见书上P146：8-11,8-13,8-14）)11(2222222zTQTrrTrrTtT]sin1)(sinsin1)(1[222222QTrTrrTrrtT0222222zTyTxT24三、三类基本传热边界条件ThreeTypesofBoundaryConditions应用(1)式或(2)定量描述导热物体温度场分布时，还需要具体的问题“初始条件”：如T0=f(t=0,x,y,z)(I.C.)和“边界条件”(B.C.)，才能构成对具体导热问题定解方程组。传热物质体系与环境之间的传热边界条件，可分为以下三种基本类型：(1)第一类边界条件(BoundaryConditionTypeI)边界上的温度已知，即T|Γ=Tb(t,x,y,z)(x,y,z)当T|Γ=0时，称为齐次第一类边界条件25(2)第二类边界条件(BoundaryConditionTypeII)边界上法线方向上的温度已知，即热流密度q|Γ已知即：(x,y,z)当时，称为齐次第二类边界条件如在对称的导热物体的对称面(线)，即是如此，它代表了绝对面),,,(zyxtfnT0nT00nqnT26(3)第三类边界条件(BoundaryConditionTypeIII)边界上一点的温度与该点温度处法向导数的线性之和是已知的，即：(x,y,z)上式第三类边界条件表达式的物理意义是固体在表面上的导热热流通量通过对流换热方式传给温度为T∞=f(t,x,y,z)/h的流体环境中，即当时，称为齐次第三类边界条件其物理意义是边界热流以对流方式传给温度为零的流体环境中。),,,(zyxtfThnTk)(TThnTk0hiTnTk27注：上述三类边界条件与温度的关系都是线性的。当边界为辐射传热时，边界条件是非线性的。如：)(44TTnTk),,,(4zyxtfBTnTA288.3一维稳定导热SteadyStateOne-DimensionalSystems一、稳定导热方程(SteadyStateEquationforConduction)在稳定导热情况下，导热物体内部的温度场不随时间变化，即：T=T(x,y,z)。此时物体内部任意一点均有，也就是说在稳定导热物体中任何位置都没有热能的积蓄(此时，由()式知：导入某体系的热能量与导出的热量相等)。描述物体中稳定导热方程，可由导热微分方程(2)式，令，简化后，直接得到，即：2T=0，或0tT0222222zTyTxT0tT29二、无限大平壁导热InfiniteFlatPlate1、单层无限大平壁导热(SingleLayerWall)30边界条件：x=0,T=T1和x=δ,T=T2积分上式：∫dT=∫C1dxT=C1x+C2代入边界条件，得平壁内温度分布表达式：T1=C2T2=C1δ+C2或即大平壁内稳定导热时，其中温度呈线性分布。1CdxdT121TTC112TxTTTxTTTT12131比较欧姆定律：REE21RtTTQ21FRtE1E1RI322、多层无限大平壁导热SeriesCompositeWall由多层不同材料组成的多层平壁如图8-6所示，在稳定导热情况下，经过各层平壁的热流量Q都是相同的，根据单层导热的热流量表达式(8-17)，可以求得各层的热流量表达式：333435三、热阻的概念ThermalResistance(8-17)式表示的大平壁中的导热传热热流量Q与平壁两表面温差(T1-T2)及δ/F项的函数关系可与一个描述简单电路中，（如图）电流与电压关系的欧姆定律相类比：即在电势差E1-E2作用下，通过电阻R的电流I为：欧姆定律：欧姆定律式中的电流I项通过平壁的传热量Q电势差E1-E2平壁两表面上温差(T1-T2)电阻Rδ/F项REE21E1E1RI36称δ/F为热阻，记为：这可得下式：可见(8-17’)式与欧姆定律式具有相同的形式。在欧姆定律中电阻R是对电流的一种阻力，而在(8-17’)中Rt对在温差(T1-T2)驱动下的热流Q也是一种阻力，在电阻式中：：增加了传热距离整块平壁的热阻Rt：平壁的导热能力下降整块平壁的热阻RtF：平壁导热总面积减小，导热能力下降整块平壁的热阻Rt)'178(21RtTTQFRt37热阻的概念在计算通过多层不同材料(λ不同)组成的复合，热传导体系的导热热流量是十分方便的。不同传热方式的热阻可具有不同的表达形式，欧姆定