函数图像变换公式大全

1蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设),(00yxP，则它（1）关于x轴对称的点为),(00yx；（2）关于y轴对称的点为),(00yx；（3）关于原点对称的点为),(00yx；（4）关于直线xy对称的点为),(00xy；（5）关于直线xy对称的点为),(00xy；（6）关于直线by对称的点为)2,(00ybx；（7）关于直线ax对称的点为),2(00yxa；（8）关于直线axy对称的点为),(00axay;（9）关于直线axy对称的点为),(00xaay;（10）关于点),(ba对称的点为)2,2(00ybxa；（11）按向量),(ba平移得到的点为),(00byax.二、曲线的变换.曲线0),(yxF按下列变换后所得的方程：(1)按向量),(ba平移，得到0),(byaxF；(2)关于x轴对称，得到0),(yxF；(3)关于y轴对称，得到0),(yxF；(4)关于原点对称，得到0),(yxF；(5)关于直线ax对称，得到0),2(yxaF；(6)关于直线by对称，得到0)2,(ybxF；(7)关于点),(ba对称，得到0)2,2(ybxaF；(8)关于直线xy对称，得到0),(xyF；(9)关于直线axy对称，得到0),(axayF；2(10)关于直线axy对称，得到0),(yaaxF；(11)纵坐标不变横坐标变为原来的a倍，得到方程0),(yaxF；(12)横坐标不变纵坐标变为原来的b倍，得到方程0),(byxF三、两个函数的图象对称性1:左右平移:)(axfy（0a）的图像可由)(xfy的图像向左（+）或向右（—）平移a个单位而得到；)(amxfy（0,0am）的图像可由)(mxfy的图像向左（+）或向右（—）平移ma个单位而得到;2.上下平移：）（0)(bbxfy的图像可由)(xfy的图像向上（+）或向下（—）平移b个单位而得到；3.)(xfy的图像与)(xfy的图像关于y轴对称；换句话说：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。4.)(xfy的图像与)(xfy的图像关于x轴对称；换句话说：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。5.)(xfy的图像与)(xfy的图像关于原点对称；6.|)(|xfy的图像可如此得到：)(xfy的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，其余不变；7.)||(xfy的图像：保留)(xfy的图像在y轴右侧的部分，并沿y轴翻折到y轴左边部分代替原y轴左边部分；8.)(axfy与)(xbfy关于直线2abx对称(在函数()yfax上任取一点11(,)xy，则11()yfax，点11(,)xy关于直线2bax对称点（1bax，y1）。由于1111[()][]()fbbaxfbbaxfaxy,故点（1bax，y1）在函数()yfbx上。由点11(,)xy是函数()yfax图象上任一点因此()yfax与()yfbx关于直线2bax对称。)；换句话说,)(xafy与)(bxfy关于3直线2bax对称;换句话说,)(xfy与)(bxfy关于直线2bx对称.9.)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称；10.)2(2)(xafbyxfy与关于点(,)ab对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(,)ab对称。特别提醒①函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.②函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称.特殊地:()yfxa与函数()yfax的图象关于直线xa对称③函数()yfx的图象关于直线xa对称的解析式为(2)yfax④函数()yfx的图象关于点(,0)a对称的解析式为(2)yfax⑤函数()yfx与()axfay的图像关于直线xya成轴对称。11.伸缩变换:)0)((AxAfy的图像，可将)(xfy的图像上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍而得到；12.)0)((kkxfy的图像，可将)(xfy的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k1倍而得到；13.)(1xfy与)(xfy关于直线xy对称；14.)(1xfy的图像与)(xfy的图像关于直线xy对称；15.函数)(mxafy的图像与)(mxbfy的图象关于直线mabx2对称。四.单个函数的图象1.若对任意,x)()(xbfaxf，则)(xfy的图像关于直线x=2ba对称；反之亦然;若对任意x，)()(xcfxf，则)(xfy的图像关于直线x=2c对称，反之亦然；若)(axf是偶函数，则)(xfy关于ax对称。（在()yfx上4任取一点11(,)xy，则11()yfx，点11(,)xy关于直线2abx的对称点11(,)abxy，当1xabx时11111()[()][()]()fabxfabxfbbxfxy，故点11(,)abxy也在函数()yfx图象上。由于点11(,)xy是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2abx对称（特别地，0ba时，该函数为偶函数））.2.对任意x，)()(xafaxf（或)2()(xafxf的充分必要条件是)(xfy的图像关于点)0,(a对称；3.若)(xf有两条对称轴ax和)(babx(证明：∵()()faxfax得()(2)fxfax,()()fbxfbx得()(2)fxfbx∴(2)(2)faxfbx,∴()(22)fxfbax∴函数()yfx是周期函数，且22ba是一个周期。),或有两个对称点)0,(a和)0,(b（ba）,则)(2ab是)(xf的一个周期；4.若)(xf以ax为对称轴，且以)0,(b为对称中心，则)(4ab是)(xf的一个周期；5.)(xfy的图像关于点),(ba对称的充分必要条件是对任意,xbxafxaf2)()(成立（更一般地，若cxbfxaf)()(，则)(xfy的图像关于点(2ba,2c)对称(在函数()yfx上任取一点11(,)xy，则11()yfx，点11(,)xy关于点（2ab，2c）的对称点（1abx，c－y1），当1xabx时，1111()[()]()fabxcfbbxcfxcy,即点（1abx，c－y1）在函数()yfx的图象上。由于点11(,)xy为函数()yfx图象上的任意一点可知函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）特别提醒：5①函数()yfx的图象关于点(,0)a对称()(2)fxfax。②函数()yfx的图象关于原点对称（奇函数）)()(xfxf。③函数)(axfy是奇函数)(xf关于点0,a对称。6.若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期7.对于非零常数A，若函数()yfx满足(A)()fxfx，则函数()yfx必有一个周期为2A。8.对于非零常数A，函数()yfx满足1(A)()fxfx，则函数()yfx的一个周期为2A。9.对于非零常数A，函数()yfx满足1()()fxAfx，则函数()yfx的一个周期为2A。10.已知函数xfy对任意实数x,都有bxfxaf，则xfy是以2a为周期的函数11.若函数)(xfy对定义域中的任意x的值，都满足)()(mxbfmxaf，则函数)(xfy的图象关于直线2bax对称.12.对于非零常数A，函数()yfx满足1()()21()Afxfxfx或1()()21()Afxfxfx则函数()yfx的一个周期为2A。13.若函数xfy对任意实数x,都有bxfxaf，则xfy是以2a为周期的函数（()()faxbfx，(2)(())()(())()fxafxaabfxabbfxfx；或者:)()2()()()()()()(xfaxfaxfaxfbxfaxfbaxfxf）