2008年全国高中数学联赛试题及详细解析

1受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。一试4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（）。（A）764cm3或586cm3（B）764cm3（C）586cm3或564cm3（D）586cm35．方程组0,0,0xyzxyzzxyyzxzy的有理数解(,,)xyz的个数为（）。（A）1（B）2（C）3（D）426．设ABC的内角ABC、、所对的边abc、、成等比数列，则sincotcossincotcosACABCB的取值范围是（）。（A）(0,)（B）51(0,)2（C）5151(,)22（D）51(,)2二、填空题（每小题9分，共54分）11．设()fx是定义在R上的函数，若(0)2008f，且对任意xR，满足(2)()32xfxfx，(6)()632xfxfx，则)2008(f=.12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin|)(xxf的图像与直线ykx)0(k有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：2cos1sinsin34．14．解不等式121086422log(3531)1log(1)xxxxx．[来源:学科网][来源:Z*xx*k.Com]3加试一、（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD，180BD，P是平面上的动点，令()fPPABCPDCAPCAB．（1）求证：当()fP达到最小值时，PABC、、、四点共圆；（2）设E是ABC外接圆O的AB上一点，满足：32AEAB，31BCEC，12ECBECA，又,DADC是O的切线，2AC，求()fP的最小值．二、（本题满分50分）设()fx是周期函数，T和1是()fx的周期且01T．证明：（1）若T为有理数，则存在素数p，使1p是()fx的周期；（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}na满足110nnaa(1,2,)n，且每个(1,2,)nan都是()fx的周期．三、（本题满分50分）设0ka，1,2,,2008k．证明：当且仅当200811kka时，存在数列{}nx满足以下条件：（1）010nnxxx，1,2,3,n；答一图14（2）limnnx存在；（3）200820071110nnknkknkkkxxaxax，1,2,3,n．[来源:学科网][来源:Z_xx_k.Com]一试解答51.【答案】C【解析】当2x时，20x，因此21(44)1()(2)22xxfxxxx12(2)2xx2，当且仅当122xx时取等号．而此方程有解1(,2)x，因此()fx在(,2)上的最小值为2．故选C.3.【答案】B12125(2)()()9PPAAPAA，1234123412341234(4)()()()()PPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA332112202[()()()()]333381，1234123412341234(6)()()()()PPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA2221164()()3381，因此520162662469818181E．故选B。4.【答案】A65.【答案】B6.【答案】C【解析】设abc、、的公比为q，则2,baqcaq，而sincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBCsin()sin()sinsin()sin()sinACBBbqBCAAa．因此，只需求q的取值范围．因为abc、、成等比数列，最大边只能是a或c，因此abc、、要构成三角形的三边，必须且只需abc且bca．即有不等式组22,aaqaqaqaqa即72210,10.qqqq解得1551,225151.22qqq或从而515122q，因此所求的取值范围是5151(,)22．故选C。9.【答案】222【解析】方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如||||表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226(个)位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C253(种)．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．方法二：设分配给3个学校的名额数分别为123xxx、、，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324xxx的正整数解的个数，即方程12321xxx的非负整数解的个8数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323HCC253．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222（种）．11.【答案】20082200712.【答案】7239（第12题图1）第12题图2）【解析】如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面111ABC//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体111PABC的中心，111POABC面，垂足D为111ABC的中心．因11111113PABCABCVSPD1114OABCV111143ABCSOD，故44PDODr，从而43POPDODrrr．记此时小球与面PAB的切点为1P，连接1OP，则222211(3)22PPPOOPrrr．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF，如图2．记正四面体的棱长为a，过1P作1PMPA于M．因16MPP，有113cos2262PMPPMPPrr，故小三角形的边长1226PEPAPMar．小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部分）1PABPEFSS223((26))4aar23263arr．又1r，46a，所以124363183PABPEFSS．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．1014.【解析】方法一：由44221log(1)log(22)xx，且2logy在(0,)上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxxxx．即1210864353210xxxxx．分组分解12108xxx1086222xxx864444xxx642xxx4210xx，864242(241)(1)0xxxxxx，15.【解析】设00(,),(0,),(0,)PxyBbCc，不妨设bc．直线PB的方程:00ybybxx，化简得000()0ybxxyxb．又圆心(1,0)到PB的距离为1，0022001()ybxbybx，故22222000000()()2()ybxybxbybxb，易知02x，上式化简得2000(2)20xbybx，同理有2000(2)20xcycx．所以0022ybcx，002xbcx，11则22200020448()(2)xyxbcx．因00(,)Pxy是抛物线上的点，有2002yx，则220204()(2)xbcx，0022xbcx．所以00000014()(2)4222PBCxSbcxxxxx2448．当20(2)4x时，上式取等号，此时004,22xy．因此PBCS的最小值为8．解得3cos2或1cos23（舍去），故30，60ACE．由已知31BCEC=0sin30sinEACEAC,有sin(30)(31)sinEACEAC，即31sincos(31)sin22EACEACEAC，整理得231sincos22EACEAC，故1tan2323EAC，可得75EAC，从而45E，45DACDCAE，ADC为等腰直角三角形．因2AC，则1CD．又ABC也是等腰直角三角形，故2BC，212212cos1355BD，5BD．故min()5210fPBDAC．方法二：（1）如图2，连接BD交ABC的外接圆O于0P点（因为D在O外，故0P在BD上）．过,,ACD分别作000,,PAPCPD的垂线，两两相交得（第1题图2）12111ABC，易知0P在ACD内，从而在111ABC内，记ABC之三内角分别为xyz，，，则0180APCyzx，又因110BCPA，110BAPC，得1By，同理有1Ax，1Cz，所以111ABC∽ABC．设11BCBC，11CACA，11ABAB，则对平面上任意点M，有0000()()fPPABCPDCAPCAB011011011PABCPDCAPCAB1112ABCS111111MABCMDCAMCAB()MABCMDCAMCAB()fM，从而0()()fPfM．由M点的任意性，知0P点是使()fP达最小值的点．由点0P在O上，故0PABC、、、四点共圆．方法三：（1）引进复平面，仍用,,ABC等代表,,ABC所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,zz，有1212zzzz，当且仅当1z与2z（复向量）同向时取等号．13有PABCPCABPABCPCAB，二、【解析】（1）若T是有理数，则存在正整数,mn使得nTm且(,)1mn，从而存在整数,ab，使得1manb．于是11manbabTabTmm是()fx的周期．又因01T，从而2m．设p是m的素因子，则mpm，mN，从而11mpm是()fx的周期．（2）若T是无理数，令111aTT，则101a，且1a是无理数，令21111aaa，111nnnaaa，由数学归纳法易知na均为无理数且01na．又111nnaa，故11nnnaaa，即111nnnnaaaa．因此{}