2.2.1-对数与对数运算(2)-课件(人教A版必修1)

2.2对数函数2．2.1对数与对数运算第2课时对数的运算目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行化简、求值和证明．这是本节的重点．2．了解对数的换底公式，用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数，这是本节的一个难点.研习新知新知视界1．对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．2．换底公式logab＝logcblogca(a0，b0，c0，a≠1，c≠1)．思考感悟(1)loganbm＝mnlogab(a0且a≠1，b0，m、n∈N*)成立吗？(2)(logax)n＝logaxn正确吗？提示：(1)成立．由换底公式可得loganbm＝mlgbnlga＝mnlogab.n个(2)不正确．∵(logax)n＝(logax·logax·…·logax)，而logaxn＝nlogax＝logax＋logax＋…＋logax，∴一般两式不相等．n个自我检测1．若a0，a≠1，x0，y0，xy，下列式子中正确的个数是()①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaxy＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.•A．0B．1•C．2D．3•答案：A•2．log63＋log62等于()•A．6B．5•C．1D．log65•解析：log63＋log62＝log63×2＝log66＝1.•答案：C解析：原式＝log612－log62＝log6122＝log63.3．化简12log612－2log62的结果为()A．62B．122C．log63D.12答案：C•4．若logab·log3a＝4，则b的值为________．•答案：81•5．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan.•解：由a2＝m，a3＝n，•得logam＝2，logan＝3，•∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.互动课堂典例导悟类型一对数运算性质的运用[例1]求下列各式的值．(1)4lg2＋3lg5－lg15；(2)1＋12lg9－lg2401－23lg27＋lg365；(3)lg37＋lg70－lg3；(4)lg22＋lg5·lg20－1.•[分析]对于这类问题，可以将整个式子运用对数的性质统一为一个单一的对数式进行运算，但这样做往往比较复杂，也较容易出错．如果分别运用性质，对每一部分先化简或合并同类项，可以简化运算过程并提高运算的准确性．[解](1)4lg2＋3lg5－lg15＝4lg2＋3lg5－lg1＋lg5＝4lg2＋4lg5＝4(lg2＋lg5)＝4lg10＝4.(2)1＋12lg9－lg2401－23lg27＋lg365＝1＋12lg32－lg24－lg101－23lg33＋lg36－lg5＝lg3－lg3－lg81－2lg3＋2lg3＋lg4－lg5＝－lg81－lg5＋lg4＝－lg8lg2＋lg4＝－lg8lg8＝－1.(3)lg37＋lg70－lg3＝lg3－lg7＋lg7＋lg10－lg3＝lg10＝1.(4)lg22＋lg5·lg20－1＝lg22＋lg5(lg2＋1)－1＝lg22＋(1－lg2)(1＋lg2)－1＝lg22＋1－lg22－1＝0.变式体验1计算．(1)2log32－log3329＋log38－5log53；(2)lg27＋lg8－lg1000lg1.2.解：(1)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－5log53＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(2)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32.类型二换底公式的运用[例2]计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－log12432.[分析]用换底公式化不同底为同底，再用对数的运算法则进行化简．[解]原式＝(log223＋log233)(log32＋log322)－log12254＝(12log23＋13log23)(log32＋12log32)＋54＝56log23·32log32＋54＝54＋54＝52.[点评]观察式子的结构特点，灵活运用对数的运算法则和换底公式．解：∵log147＝a，log145＝b，log1414＝1，∴log3528＝log1428log1435＝log1414＋log142log145＋log147＝1＋log14147a＋b＝1＋log1414－log147a＋b＝2－aa＋b.•变式体验2已知log147＝a,14b＝5，用a、b表示log3528.类型三带有附加条件的求值问题[例3](1)设a＝lg(1＋17)，b＝lg(1＋149)，用a、b表示lg2、lg7；(2)设3a＝4b＝36，求2a＋1b的值．[分析](1)用lg2、lg7表示a、b，然后解方程组；(2)指数式转化为对数式．[解](1)a＝lg(1＋17)＝lg237＝3lg2－lg7，b＝lg(1＋149)＝lg5049＝lg1022×72＝2－lg2－2lg7，∴lg2＝17(2a－b＋2)，lg7＝17(－a－3b＋6)．(2)∵3a＝36，∴3＝361a，∴1a＝log363.∴2a＝2log363＝log369.同理1b＝log364，∴2a＋1b＝log369＋log364＝log3636＝1.•[点评]通过指数式、对数式的相互转化，将所求式子中的元素表示出来．(1)题用到了方程思想，(2)题还可以对已知等式两边取对数．变式体验3已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg45.解：lg45＝12lg45＝12lg902＝12(lg9＋lg10－lg2)＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2＝0.4771＋0.5－0.1505＝0.8266.类型四对数的实际应用问题[例4]声音的强度D(dB)由公式D＝10lg(I10－16)给出，其中I为声音能量(W/cm2)，如果能量小于10－16W/cm2时，人听不见声音．求：(1)人低声说话(I＝10－13W/cm2)的声音强度；(2)平时常人交流(I＝3.16×10－6W/cm2)的声音强度；(3)听交响音乐会时，坐在铜管乐前(I＝5.01×10－6W/cm2)的声音强度．[分析]本题考查对数在实际问题中的应用．将所给数据代入公式进行计算即可．[解](1)人低声说话时的声音强度：D＝10lg10－1310－16＝10lg103＝30(dB)．(2)平时常人交流的声音强度：D＝10lg3.16×10－610－16＝10lg(3.16×1010)＝10(lg3.16＋10)≈105(dB)．(3)铜管乐前的声音强度：D＝10lg5.01×10－610－16＝10lg(5.01×1010)＝10(lg5.01＋10)≈107(dB)．•变式体验4某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：•(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式．•(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；•(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．•解：(1)1年后该城市人口总数为•y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)•2年后该城市人口总数为•y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，•3年后该城市人口总数为•y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，•x年后该城市人口总数为•y＝100×(1＋1.2%)x，(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210＝112.7(万人)，(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.012120100＝log1.0121.2≈15(年)．•思悟升华•1．对数式的求值、化简方法：•(1)对于同底的对数式的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．•(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．•(3)对于含多重对数符号的对数式的化简，应从内向外逐层化简．(4)当真数是“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．2．对数换底公式的选用(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(4)重视以下结论的应用：①logac·logca＝1；②logab·logbc·logca＝1；③loganbm＝mnlogab.课时作业（18）