初中二次函数常考知识点总结

1二次函数常考知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3.交点式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化二、函数图像的性质——抛物线（1）开口方向——二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：2bxa对称轴顶点式：x=h两根式：x=221xx（3）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）a与b同号（即ab＞0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab＜0）对称轴在y轴右侧（4）增减性，最大或最小值当a0时，在对称轴左侧（当2bxa时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当2bxa时），y随着x的增大而增大；当a0时，在对称轴左侧（当2bxa时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当2bxa时），y随着x的增大而减少；当a0时，函数有最小值，并且当x=ab2，2min44acbya；当a0时，函数有最大值，并且当x=ab2，2max44acbya；（5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）。（6）a\b\c符号判别二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的符号判别：（1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；一般式：2424bacbaa，顶点式：（h、k）顶点坐标y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y=-x2y=-x222（2）c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下方，则C＜0；（3）b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y轴的右侧，则a、b异号；（7）抛物线与x轴交点个数Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。这两点间的距离2124||||bacABxxaΔ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点在x轴上。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．）（8）特殊的①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b2-4ac=0；②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；三、平移、平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。随堂练：一、选择题：1、对于)0(2aaxy的图象下列叙述正确的是（）Aa的值越大，开口越大Ba的值越小，开口越小Ca的绝对值越小，开口越大Da的绝对值越小，开口越小2、对称轴是x=-2的抛物线是（）A..y=-2x2-8xBy=2x2-2C.y=2(x-1)2+3D.y=2(x+1)2-33、与抛物线53212xxy的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A．2523412xxyB．87212xxyC．106212xxyD．532xxy4、二次函数cbxxy2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A．x＝4B.x＝3C.x＝－5D.x＝－1。5、抛物线122mmxxy的图象过原点，则m为（）A．0B．1C．－1D．±16、把二次函数122xxy配方成顶点式为（）A．2)1(xyB.2)1(2xyC．1)1(2xyD．2)1(2xy7、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)8、函数362xkxy的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．3kB．03kk且C．3kD．03kk且9、抛物线22nmxxy)0(mn则图象与x轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．不能确定10、二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则abc，acb42，ba2，cba这四个式子中，值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：1、已知抛物线342xxy，请回答以下问题：它的开口向，对称轴是直线，顶点坐标为；2、抛物线)0(2acbxaxy过第二、三、四象限，则a0，b0，c0．3、抛物线2)1(62xy可由抛物线Oxy-11Oxy-113262xy向平移个单位得到．4、抛物线1422xxy在x轴上截得的线段长度是．5、抛物线mxxy22，若其顶点在x轴上，则m．6、已知二次函数232)1(2mmxxmy，则当m时，其最大值为0．7．二次函数cbxaxy2的值永远为负值的条件是a0，acb420．8．已知抛物线cbxxy2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b=，c=．三、解答1、已知二次函数y=2x²-4x-6求：此函数图象的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标2、已知抛物线cbxaxy2与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，（1）求证：b＋1＋ac=0（2）若C与B两点距离等于22，一元二次方程02cbxax的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式.四、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．随堂练:1、已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；2、已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；3、已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；4、已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；5、已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；6、抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；7、抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；4xyx2x1EBAO8．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。⑴二次函数的解析式为．⑵当自变量x时，两函数的函数值都随x增大而增大．⑶自变量时，一次函数值大于二次函数值．9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．10、对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为．11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：五、二次函数解析式中各参数对图象的影响a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减”)k──顶点纵坐标即最值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减”)b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)c──与y轴交点(0,c)的位置(c0时在x轴上方；c0时在x轴下方；c=0时必过原点)特殊点纵坐标的位置:如(1，a+b+c)、(-1，a-b+c)等六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即；一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即；一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即：.七、二次函数的最值——看定义域定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最值；定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值八、抛物线对称变换前后的解析式y=ax2+bx+cy=ax2-bx+cy=-ax2-bx-cy=-ax2+bx-c九.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x、y互为相反数x互为相反数y互为相反数关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称1－1－33xyOABC