2009年全国高中数学联赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。答卷时间为80分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。答卷时问为150分钟。一试一、填空（每小题7分，共56分）1．若函数21xfxx且()nnfxffffx，则991f．2．已知直线:90Lxy和圆22:228810Mxyxy，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．3．在坐标平面上有两个区域M和N，M为02yyxyx≥≤≤，N是随t变化的区域，它由不等式1txt≤≤所确定，t的取值范围是01t≤≤，则M和N的公共面积是函数ft．4．使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为．5．椭圆22221xyab0ab上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ的最小值为．6．若方程lg2lg1kxx仅有一个实根，那么k的取值范围是．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶910∶830∶930∶850∶950∶概率161213一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题1．（14分）设直线:lykxm（其中k，m为整数）与椭圆2211612xy交于不同两点A，B，与双曲线221412xy交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．（15分）已知p，0qq是实数，方程20xpxq有两个实根，，数列na满足1ap，22apq，1234nnnapaqan，，(Ⅰ)求数列na的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若1p，14q，求na的前n项和．3．（15分）求函数2713yxxx的最大和最小值．加试一、解答题（共4小题，每小题50分，共200分）1、如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧BC、AC的中点．过点C作PCMN∥交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．⑴求证：MPMTNPNT；⑵在弧AB（不含点C）上任取一点Q（QA≠，T，B），记AQC，QCB△的内心分别为1I，2I，ITQPNMCBA求证：Q，1I，2I，T四点共圆．2、求证不等式：2111ln12nkknk≤，1n，2，…3、设k，l是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数mk≥，使得Ckm与l互素．4、在非负数构成的39数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839xxxxxxxxxPxxxxxxxxxxxxxxxxxx中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390xxx，27x，37x，18x，38x，19x，29x均大于．如果P的前三列构成的数表111213212223313233xxxSxxxxxx满足下面的性质()O：对于数表P中的任意一列123kkkxxx（1k，2，…，9）均存在某个123i，，使得⑶123minikiiiixuxxx≤，，．求证：（ⅰ）最小值123miniiiiuxxx，，，1i，2，3一定自数表S的不同列．（ⅱ）存在数表P中唯一的一列***123kkkxxx，*1k≠，2，3使得33数表***111212122231323kkkxxxSxxxxxx仍然具有性质()O．2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设7分的0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其它中间档次。一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1、若函数21xfxx且()nnfxffffx，则991f101．解：2)1(1)()(xxxfxf，2)2(21)]([)(xxxffxf，······2)99(991)(xxxf.故101)1()99(f.2、已知直线:90Lxy和圆22:228810Mxyxy，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围为]6,3[．解：设A（a，9-a），则圆心M到直线AC的距离d=AMsin45，由直线AC与圆M相交，得234d.解得63a.3、在坐标平面上有两个区域M和N，M为02yyxyx≥≤≤，N是随t变化的区域，它由不等式1txt≤≤所确定，t的取值范围是01t≤≤，则M和N的公共面积是函数ft212tt．解：由题意知阴影部分面积stf)(=BEFOCDAOBSSS=212tt4、使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为2009．解：设121...2111)(nnnnf.显然)(nf单调递减.则由)(nf的最大值312007)1(af，可得2009a.5、椭圆22221xyab0ab上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ的最小值为22222baba．解：设)sin,cos(OPOPP，)).2sin(),2cos((OQOQQ由QP、在椭圆上，有22222sincos1baOP（1）22222cossin1baOQ（2）（1）+（2）得.11112222baOQOP于是当22222babaOQOP时，OQOP达到最小值.22222baba6、若方程lg2lg1kxx仅有一个实根，那么k的取值范围是0k或4k．解：2)1(010xkxxkx当且仅当0kx（1）01x（2）01)2(2xkx（3）对（3）由求根公式得]42[21,221kkkxx（4）0042kkk或4k)(i当0k时，由（3）得01022121xxkxx所以21xx同为负根。又由（4）知，010121xx所以原方程有一个解1x。)(ii当4k时，原方程有一个解.112kx)(iii当4k时，由（3）得01022121xxkxx所以21,xx同为正根，且21xx，不合题意，舍去。综上可得0k或4k为所求。7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是982101（可以用指数表示）解：易知：)(i该数表共有100行；)(ii每一行构成一个等差数列，且公差依次为989923212,...,2,2,1dddd)(iii100a为所求。设第)2(nn行的第一个数为na，则2121122)2(nnnnnnaaaa2322]22[2nnna22432222]22[2nnnna233232nna......2112)1(2nnna22)1(nn故981002101a.8、某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶910∶830∶930∶850∶950∶概率161213一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为27（精确到分）．解：旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率2131616161216131候车时间的数学期望为2718190121703615031302110二、解答题1、（14分）设直线:lykxm（其中k，m为整数）与椭圆2211612xy交于不同两点A，B，与双曲线221412xy交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．解：（本小题满分14分）设直线mkxyl:（其中mk,为整数）与椭圆2211612xy交于不同两点A，B，与双曲线221412xy交于不同两点C，D，问是否存在直线L，使得向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。解：由1121622yxmkxy消去y化简整理得04848)43(222mkmxxk设),(),,(2211yxByxA，则221438kkmxx.0)484)(43(4)8(2221mkkm（1）······4分由112422yxmkxy消去y化简整理得0122)3(222mkmxxk设),(),,(4433yxDyxC，则24332kkmxx.0)12)(3(4)2(2222mkkm（2）······8分因为0ACBD，所以0)()(1324xxxx，此时，0)()(1324yyyy.由4321xxxx，得2232438kkmkkm.所以02km，或2231434kk.由上试解得0k或0m.当0k时，由（1）和（2）得3232m.因m是整数，所以m的值为.3,2,1,0,1,2,3当0m时，由（1）和（2）得33k.因k是整数，所以.1,0,1k于满足条件的直线共有9条。···································14分2、（15分）已知p，0qq是实数，方程20xpxq有两个实根，，数列na满足1ap，22apq，1234nnnapaqan，，(Ⅰ)求数列na的通项公式（用，表示）；(Ⅱ)若1p，14q，求na的前n项和．解法一：（I）由韦达定理知,0q又,p所以...)5,4,3(,)(2121naaqxpxannnnn整理得).(211nnnnaaaa令nnnaab1，则,...).2,1(1nbbnn所以｛nb｝是公比为的等比数列.数列｛nb｝的首项为：.)()(222121pqpaab所以,112nnnb即,...).2,1(11naann