伴随矩阵

§3.5逆矩阵概念的引入逆矩阵的概念和性质可逆矩阵的判定及其求法小结思考题,111aaaa,11EAAAA则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.A1A一、概念的引入在数的运算中，当数时，0a有aa11a其中为的倒数，a（或称的逆）；在矩阵的运算中，E单位阵相当于数的乘法运算中的1，A那么，对于矩阵，1A如果存在一个矩阵,使得又如，在平面直角坐标系中xoy中，将两个坐标轴同时绕原点旋转θ角(逆时针为正,顺时针为负),就得到一个新的坐标系,记作uov,由图3.1可推得图3.1cossinsincosvuTPSQONyvuTQOSOMx.PQTNRMSθ0xyuv利用矩阵乘法可将上述关系表示为vuyxcossinsincos(3-11)(3-12)因此有，就又回到坐标系绕原点旋转将坐标系.uovyxyxvucossinsincoscossinsincos把(3-11)代入(3-12)得vuvuvucossinsincoscossinsincos若记EBAABBA则有cossinsincos,cossinsincos例设,21212121,1111BA,EBAAB.的一个逆矩阵是AB定义12对于n阶方阵A,如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E,则称方阵A是可逆的,B称为A的逆矩阵,记作B=A-1.如果不存在满足AB=BA=E的矩阵B,则称A是不可逆的.可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵.二、逆矩阵的概念和性质说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.AA若设和是的可逆矩阵，BCA,,ECAACEBAAB可得EBBBCAABC.CCE所以的逆矩阵是唯一的,即A.1ACB三、可逆矩阵的判定及其求法1、伴随矩阵法定义设A=(aij)为n阶矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式,(i,j=1,2,…,n),则称矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*为A的伴随矩阵.定理1矩阵A可逆的充要条件是,11AAA0A证明若可逆，A.EAAA11使即有,11EAA故.0A所以.的伴随矩阵为矩阵其中AA必要性充分性,0时当A,且AAaAaAann1112121111AAaAaAannnnnnnn2211,0时当AnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211OO,EAAAAAEAAAAA,EAAAAAA.1AAA按逆矩阵的定义得证毕.,0,,0非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当AAAA奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得AA推论1奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异矩阵,非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异阵.证设P是任何一个与A同阶的初等矩阵，则|PA|=|P||A|=|A||P|=|AP|,因此,当|A|=0时,|PA|=|AP|=0.当|A|≠0时,|PA|≠0,|AP|≠0证毕..,1ABEBAEAB则或若推论2,1EBA,0A故,1存在因而A于是EBBBAA1ABA1EA1.1A证明,,,1111AAAA且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质.11AA且可逆则数可逆若,,0,2AA.111AA证因A可逆,所以A-1存在,且AA-1=A-1A=E,由逆矩阵的定义知A-1可逆,且,111111EAAAA比较上述两式得AA11证由于EAAAA1111,,,3亦可逆则为同阶方阵且均可逆若ABBA1111ABBAABAB1AEA,1EAA.111ABAB证明1ABB11A所以11111AAA且(4)若A可逆，则AT亦可逆,且T11TAA证由于E,AAAAT1T1T所以T11TAA推广:若A1,A2,…,As为同阶可逆矩阵,则A1A2…As可逆,且.ΑΑΑΑ)ΑΑ(Α111211s1s1s21当|A|≠0时,还可定义,,,10AAAAAEARR其中R,λ,μ均为正整数..AA例14判断下列矩阵是否可逆,若可逆求其逆矩阵.031201121(2)242101121(1)AA解(1)由于A中有两列元素相同所以|A|=0,因此A不可逆.(2)计算得|A|=-7≠0,所以A可逆.矩阵各元素的代数余子式分别为:A11=-6,A12=-2,A13=3,A21=3,A22=1,A23=-5,A31=4,A32=-1,A33=-2.则253112436AAAAAAAAAA332313322212131211*故25311243671AA1A*1例15解下列矩阵方程1302313512343122321)1(XABC解计算可得|A|=2≠0,|B|=1≠0,所以A、B均可逆，而A、B的伴随矩阵分别为222563462*A2513*B所以111253232311*1AAA25131*1BBB用A-1左乘，B-1右乘方程AXB=C的两边，即A-1AXBB-1=A-1CB-1，于是X=A-1CB-1251313023111125323231注二阶矩阵求伴随矩阵：“主换位，副变号”410410122513202011(2)2211321121,2BAXBXA，其中解因2X=X(2E),则所给矩阵方程可改写成X(A+2E)=B可逆，其逆矩阵则矩阵因EAEA2,05112325351525131215121EA故2010115351525122113221EABX说明用伴随矩阵求逆矩阵,通常是对阶数较低或较特殊的矩阵,对阶数较高的矩阵,常用初等变换法求其逆矩阵.,0!5A因由伴随矩阵法得,1AAA解.1存在故A.50000040000030000020000011AA求已知例16.51000004100000310000021000001432100000532100000542100000543100000543251!714121,61ABAABAA且oo.B求ABABAA61ABAEA61EBEA61.611EAB解:,满足关系设三阶矩阵BA例17110001000170004000261600030001616000300016610003100016.100020006116EAB证明,022EAA由EEAA2得,0AEEAA212EAA.,2,:,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵EAAEAAA例18.可逆故A1A.211EAA022EAA又由0432EEAEAEEAEA3412.EA可逆故2EAEA34121且.43AE12EA,13412EAEA2、初等变换法在§4中我们曾学过标准形的概念.即对任意FAnm0011初等变换00标准形而对于可逆方阵A,则F只能是单位阵E.于是有定理3n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积.证必要性设方阵A可逆，则A～E，故E经有限次初等变换可变成A，即存在有限个初等矩阵,,,,21lPPP充分性若A可表示成一些初等矩阵的乘积,因初等矩阵可逆,其乘积也可逆,所以A可逆.证毕.APEPPPPlrr121使lPPPA21即推论1m×n矩阵A～B的充分必要条件是:存在m阶矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.推论2任一可逆矩阵只用初等行(或列)变换可化为单位矩阵.证因为A可逆,则A可表示为若干个初等矩阵之积.lPPPA21于是111211211PPPPPPAll因此EAAPPPAEAAAPPPll111121111121)()(综上可得初等变换求逆阵的方法：，有时，由当lPPPAA210,11111EAPPPll,111111AEPPPll及EPPPAPPPllll11111111111AEEAPPPll11111.)(21AEEAEAnn就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对例19设矩阵.1122133241AA求，解100112010213001324EA100112010123011111211rr1312)2()3(rrrr12211004312001111104312012211001111132rr212)2(3rrrr2011001221101110012011001210101110012)1(32rrr2011211111A故注利用初等变换法求逆矩阵时,不必先判断该矩阵是否可逆,在作变换时,若出现两行元素相同或成比例,或者有一行为0,则A就不可逆.例20设矩阵，1111145212142121A用初等变换法,判断A是否可逆?如果可逆,求出A-1.解10001111010014520010121400012121EA可见,左矩阵A的二、四行元素对应成比例,所以A不可逆,A-1不存在.10013230010236900014969000012121131224rrrr14rr同理,由等式