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义务教育课程标准数学教科书（七年级，图形与几何）讲座一、“图形与几何”在“课程内容”方面的变化1.将《标准（实验稿）》中的“空间与图形”改为“图形与几何”.《标准（2011）》修订组组长史宁中教授的解释为：“图形”是存在，“空间”是存在的背景，“几何”是运用规则对图形进行研究.改为“图形与几何”更准确一些.2.将《标准（实验稿）》中“图形的认识”和“图形与证明”合并为“图形的性质”.●《标准（实验稿）》将“空间与图形”分为图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明4个部分；《标准》将“空间与图形”分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标3个部分.将原来的“图形的认识”和“图形与证明”合并为“图形的性质”，除了更有利于在探索、发现、证明图形性质的过程中，体现两种推理（合情推理与演绎推理）相辅相成的关系外，更决定了“图形与几何”的教学内容将发生结构性的变化.《标准（实验稿）》将“图形的认识”、“图形与证明”这两个具体目材分开，决定了现行教材中，涉及几何证明的内容只能安排在八年级下学期和九年级进行，而在七年级及八年级上学期只能运用合情推理探索、发现图形的性质.这样安排有两个方面的问题：一是将合情推理与演绎推理分开，割裂了它们之间的相辅相成的关系；二是重复较多，给人以“证”了两次，“用”了两次的感觉.根据《标准》修订的教材将从七年级上学期的“余角、补角、对顶角”开始进行推理证明，合情推理与演绎推理也将得到进一步的融合.3.明确了9条基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这条两直线平行；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；三边分别相等的两角三角形全等；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.●对“9条基本事实”的几点说明：（1）《标准》未将“两条直线相交只有一个交点”作为“基本事实”（在用“图形的运动、变化研究图形性质的过程中有较为广泛的应用）.教学时，对学有余力的学生可引导思考：如图，相交于点O的直线a、b还有另外的交点吗？如果直线a、b有另一个交点O’,那么经过点O、O’就有两条直线，这与基本事实“经过两点有且只有一条直线”不相符.于是我们知道：两条直线相交只有一个交点.oba(2)“两直线平行，同位角相等”不再作为“基本事实”，而作为定理要求加以证明.对此，教材的处理方法是：通过“数学实验”活动探索、发现结论，并明晰定理---明确该定理今后可以运用推理的方法加以证明---在相应的“阅读”材料中运用“反证法”进行推理（给学有余力的学生课后阅读、思考---在八年级学习“反证法”时，通过证明加以确认.这样处理相关内容，既符合《标准》要求，又不违背学生的认知规律.“读一读”─一种说理的方法：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1与∠2是同位角.假设∠1≠∠2，那么可以过直线AB与EF的交点O作直线OG，使∠EOG=∠2，直线OG与直线AB是两条直线.根据基本事实“同位角相等，两直线平行”由∠EOG=∠2，可以得到OG∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、OG都与CD平行，这与基本事实“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不正确，于是∠1=∠2.21GOABCDEF4.删去了“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”、“菱形的对角线平分一组对角”等定理；删去了“等腰梯形的性质”、“圆与圆的位置关系”等内容.降低了关于“视图与投影”的要求（未将“视点、视角、盲区”列入数学教学内容）.关于“圆周角定理”.◇引导学生通过画图，感知弧BC所对的圆心角只有1个，而所对的圆周角有无数多个.◇怎样将无限的问题转化为有限的问题加以研究呢？（引导学生对问题进行分类）A1A2OCBA◇探索圆周角与圆心角之间的数量关系.图1图2图3通过作直径AD，将“图2”、“图3”中的相关问题转化为“图1”中的已知问题.OABCA1BCODCBA2DO通过对圆周角定理的探索，引导学生感悟：1.一条弧所对的圆周角有无数多个，而逐一研究这无数多个圆周角与圆心角之间的数量关系是困难的，因此必须对圆周角相对于圆心的位置进行分类.这样既渗透了分类思想，又促使学生学会数学地思考问题.2.证明过程体现了“由特殊到一般，再由一般到特殊的转化过程”（从特殊入手，发展到一般，而解决一般情况又要用到特殊的结论）.通过对“圆周角定理”的探索、证明，使学生对数学思想有进一步的认识，学会数学地思考问题.5.增加了下列定理的证明:相似三角形的判定定理和性质定理，垂径定理，圆周角定理，切线长定理（“定理”可以用来解题，但不要求运用这些定理证明其他命题）.为证明“相似三角形的判定定理（1）”，教材增加了如下预备知识：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.从这个“基本事实”出发，通过推理，得到：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.6.对于“证明”，不仅要求“知道证明的意义和必要性，知道证明要合乎逻辑”，而且要求“知道证明的过程可以有不同的表达形式”.强调“证明”除了用简化了的三段论证表达外，还可以采用其他符合学生思维过程的表达形式.《标准》纠正了一些师生认识上的误区：学几何=学证明=学“三段论证”.根据《标准》，教材除了运用图形平移、旋转、翻折，探索、发现图形的性质外（“合情推理”过程），对一些图形的性质还运用图形的运动加以确认.案例：确认“平行四边形的性质”.操作：（1）在平行四边形ABCD中，连连接AC，取AC的中点O（如图1）;（2）用透明纸覆盖在图1上，描出平行四边形ABCD及对角线AC;3.用针钉在点O处，将图形旋转（图1）1800.你发现了什么？DCOBA运用图形的运动、变化确认图形的性质：因为O是AC的中点，所以点A与点C重合.由AB∥CD，可知∠BAC=∠DCA，于是AB落在射线CD上；由AD∥BC，可知∠DAC=（图2）∠BCA，于是CB落在射线AD上.因为“两条直线相交只有一个交点”，所以AB与CB的交点B与点D重合；如果连接BD，那么BD经过点O，且被点O平分（图2）.这样，我们知道：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.(D)(C)(B)(A)OBADC案例：探索并证明“垂径定理”.（1）操作、思考：在⊙O内分别画直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P，所画图中有哪些相等的量？（2）运用图形的运动变化确认相应结论：沿直径将所画圆形纸片对折，因为圆是轴对称图形，所以沿直径AB将圆形纸片对折时，弧ADB与弧ACB重合.又因为∠APD=∠APD=900，所以PD与PC重合，点D与点C重合.于是，PC=PD，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD.PDOCBA(D)ABCOP（3）运用演绎推理证明相应结论：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P.连接OC、OD.在△OCD中，∵OC=OD，OP⊥CD，∴PC=PD，∠BOC=∠BOD.又∵∠BOC=∠BOD，∴∠AOC=∠AOD.∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD.课本交替使用合情推理、演绎推理以及图形运动的方法，探索并证明“垂径定理”，引导学生体会探索发现并证明图形性质有多种方法.ABCDOP二、教材特色及教学建议1.教材将“图形与几何”课程整合为全等变换、相似变换和对称变换3个主体结构，以“图形的运动变化”为主线，展开对“图形与几何”的研究.其中，对称变换包括：（1）轴对称图形：主要研究轴对称与轴对称图形的性质及等腰三角形；（2）中心对称图形：主要研究中心对称图形的性质及平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）；（3）对称图形：主要从轴对称性及旋转不变性的角度研究圆.布鲁纳认为，如果学生没有掌握一般原理，就不能激发智慧；如果学生学的知识没有结构把它联系起来，就容易遗忘；如果不教给学生学科的基本结构，就不能从已知推断未知.教材以“对称”为基本结构来探索图形的基本性质：由“轴对称”探索等腰三角形、等边三角形、直角三角形、角平分线、线段的垂直平分线的性质；由“中心对称”探索平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形中位线的性质；由“对称变换”探索圆心角、弧、弦之间的相等关系以及垂径定理、切线长定理等.这样处理教材有3个好处：（1）有了图形的翻折、旋转等基本结构，学生再动手、动脑就会理解透彻、印象深刻；（2）抓住了图形的共性，如平行四边形、矩形、菱形、正方形的共性都是中心对称图形，具有中心对称的一切性质；等腰三角形、等边三角形、角、线段都是轴对称图形，具有轴对称的一切性质；（3）有了“对称”这样一根主线，纲举目张，使知识更显统一、和谐.教学时，要将“图形与几何”的教学置于“几何变换”的基本结构中.2.教材对“图形与几何”的研究，充分展现了合情推理与演绎推理之间的内在联系.（1）通过图形的折叠、旋转等操作活动，引导学生发现图形的性质，并在这一过程中，使学生感悟到发现问题、提出问题，往往要运用观察、操作、图形的运动变化等手段.（2）引导学生在发现问题的基础上进行推理，使学生体会到运用合情推理研究图形的性质往往是进行演绎推理，探索解题途径的“源”，而演绎推理的过程只是解决问题的“流”.这样，学生对图形的研究，就经历了发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的过程.案例：探索三角形内角和.发现结论：（1）任意画一个三角形，用量角器量出各内角的度数，并求它们的和；（2）把△ABC的3个内角剪开（如图1），然后把它们的顶点重合在同一点C，拼成图2.你得到什么结论？这样，通过操作、探索活动，发现了三角形3个内角之间的数量关系.（图1）（图2）CBA21C12证明结论的正确性：如图3，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠A.∵∠1+∠2+∠ACB=1800，∴∠A+∠B+∠ACB=1800，即三角形3个内角的和等于1800.图321EDCBA证明“三角形内角和定理”的关键是“作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB”.这一添加辅助线的方法正是通过图形的运动变化，经过操作、探索得到的，这是解决问题的“源”，而其证明过程只是解决问题的“流”.3.关于“推理能力”.《标准》指出：“推理一般应包括合情推理和演绎推理”，“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中”.审查通过的七年级数学教材在强化合情推理与演绎推理融合的同时，遵循小步子、多层次的原则，由易到难、由浅入深地逐步发展学生的演绎推理能力.（1）在第6章“平面图形的认识（一）”中，定义“线段的中点”、“角平分线”等概念后，用“因为……，所以……”的句式进行简单推理（此时，只出“因”和“果”，引导学生弄清因与果的关系）.如图，因为B是线段AC的中点，所以AB=BC=AC或AC=2AB=2BC.如图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.CBAOCBA1212在探索、确认“余角、补角、对顶角”的性质后，用“因为……，所以……”的表达方式进行简单的推理（此时只出“因”、“果”，不出由因得果的理由）.如图1，AC=BD，线段AD与线段BC有怎样的数量关系？为什么？（图1）（图2）如图2，OB是∠AOC的平分线，∠COD=2∠AOB.∠COD与∠AOC有怎样的数量关系？为什么？DBCADOCBA如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC.（1）画OE的反向延长线OF；（2）OF是∠BOD的平分线吗？为什么？如图，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBC=∠ECB.∠ABC与∠ACB相等吗？为什么？教材通过这些简单的推理训练，意在引导学生学会“有条理地表达”，由浅入深地逐步发展学生的演绎推理能力.EDCBAOEDCBA（2）在第7章“平面图形的认识（二）”中，探索发现直线平行的条件、平行线的性质后，用“因为……，所以……，理由是……”的句式进行推理（此处出三段论证的3个要素，但没有形式化地表达推理过程）；在第12章“证明