多边形的内角和

人教版八年级数学上册11.3多边形及其内角和一、设疑自探、回顾旧知1、在平面内，__________________________叫做多边形。２、在多边形中_________________________叫做多边形的对角线。３、一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作____条对角线它们将n边形分为_____个三角形。由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形连接多边形不相邻的两个顶点的线段（n-3）(n-2)长方形的内角和是多少？为什么？如果是任意四边形呢？二、解疑合探、探寻新知（一）多边形的内角和讨论:任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？ABCDABCDABCDFE(1)(2)(3)BADC四边形ABCD的内角和是多少？观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，可以做___条对角线，它们将四边形分成_____个三角形，所以四边形的内角和为_____。12360°那么如何求此五边形的内角和呢?3×180°=5400说说你的探索思路？ABCDE三角形四边形五边形18002×180°=36003×180°=5400探索过程一掠:ACBABCD六边形七边形4×180°=72005×180°=9000那么六边形、七边形的内角和呢？多边形边数分成三角形的个数图形内角和计算规律三角形四边形五边形六边形七边形n边形………………34567n1n-22345180°360°540°720°900°(n－2)·180°(n-2)·180°5×180°4×180°3×180°2×180°1×180°n边形内角和等于最终结论（n－2）×180°三角形六边形四边形八边形……..五边形是解决多边形问题的常用辅助线对角线多边形问题三角形问题转化（未知）（已知）那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？……正n边形（5-2）×180°5=108°（6-2）×180°6=120°（8-2）×180°8=135°（n-2）×180°n（2）正多边形的内角小试牛刀1.八边形的内角和等于多少度？十边形呢？解：（8－2)×180°=1080°（10－2)×180°=1440°2、已知一个多边形的内角和等于1440°,求它的边数。解：设这个多边形的边数为n,根据题意可得：（n-2）×180°=1440°解得：n=10答：这个多边形是十边形°练习求下列图形中x的值.（1）（2）巩固练习2x+140+90=360360-80-120-75=180-xx=65°x=95°2、一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：(n－2)×180=120n解得：n=6答：这个多边形是六边形。解：如图四边形ABCD中，ABCD例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？0180CA00360180)24(DCBA因为：这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。00180)(360:CADB所以典型例题ABCD12345多边形外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。外角678910（3）多边形的外角和多边形外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少度？解：如图，六边形ABCDEF中，∠1+∠7=180°，∠2+∠8=180°，∠3+∠9=180°，∠4+∠10=180°，∠5+∠11=180°，∠6+∠12=180°.∵∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12=（6－2）×180°=720°,结论：多边形的外角和等于360°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=6×180°－720°=360°.对于n边形，结论仍然成立！例题讲解多边形图形多边形的外角和三角形四边形五边形六边形n边形3×180o-1×180o=360o1231234123451234564×180o-2×180o=360o5×180o-3×180o=360o6×180o-4×180o=360on×180o-(n-2)×180o=360o多边形的外角和从上表中得到了什么结论？结论：任何多边形的外角和为360°练习1：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。解：设多边形的边数为n∵它的内角和等于(n-2)•180°，多边形外角和等于360º，∴(n-2)•180°=2×360º。解得:n=6∴这个多边形的边数为6。练一练练一练练习2：正五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____。5X=360°X=72°72°108°解：设正五边形的每一个外角度数为x，由多边形的外角和等于360度可得：所以每一个内角度数为108°练习3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。解：设一个外角为x°，则内角为（x＋36）°根据题意得：x+x+36＝180x＝72360÷72＝5答：这个正多边形为正五边形。学习目标1.学会用三角形内角和定理证明多边形的内角和与外角和；2.会利用多边形的内角和与外角和来解决相关问题。问题大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图.请你观察并思考如下几个问题:(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。即：多边形的外角和等于360º回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？每个内角的度数是2180nn•每个外角的度数是360n（4）正多边形的外角例2：一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形吗？解：设这个多边形为n边形，根据题意得：（n－2）×180＝1５0nn＝12答：这个多边形是12边形。另解：由于多边形外角和等于360°而这个正多边形的每个外角都等于180°－150°＝30°，所以这个正多边形的边数等于360°÷30°＝12。典型例题例3、已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别是多少？解:设它们的边数分别是x,y.由题意得：（x-2）·180+（y-2）·180=1440x:y=1:3解之得x=3y=9答：它们的边数分别是3和9。牛刀小试：（1）八边形的内角和等于。（2）已知一个多边形的内角和等于2340°，它的边数是。（3）小明在计算多边形的内角和时求得的度数是1000°，他的答案正确吗？为什么？1080°15（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，那么这个四边形中最大角的度是。（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n=。（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是。（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B与∠D有什么关系呢？为什么？144°135°120°1、求下列图形中x的值：01400x0x(1)0x0150012002x(2)0x0120080075(3)C0x0135ABDE0150060(4)AB∥CD三、随堂练习2、一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度?3、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？4、一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和每个内角的度数。8、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,7、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3倍多20度,求这个多边形的边数,6、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角,5、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形9、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生怎样变化？请画图说明。内角和减少180O内角和不变内角和增加180O3、n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)1、n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)2、n边形共有对角线条(n≥3)4、任何多边形的外角和为360°23)-nn（四、课堂小结5.已知内角和求几边形:内角和÷180+26、正n边形每个内角的度数是7、正n边形每个外角的度数是 教科书习题11.3第1、2、4、5题．五、布置作业八边形的内角和等于多少度？十边形呢？（8－2)×180°=1080°小试牛刀总结：1.n边形内角和（n－2)×180°(n≥3)2.从n边形一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分成（n-2）个三角形。(n≥3)一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线它们将n边形分为(n-2)个三角形