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椭圆的定义与标准方程一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．104．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10B．8C．6D．不确定6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16B．11C．8D．38．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个9．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在12．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4B．C．D．16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分又不必要17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是_________．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=_________．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=_________．23．若k∈Z，则椭圆的离心率是_________．24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是_________．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_________．26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：_________．三．解答题（共4小题）27．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断f（x）的单调性（3）若f（3）=﹣1，解不等式f（|x|）＜228．已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t（1）求证：f（x）是R上的减函数；（2）若f（4）=﹣t﹣4，解关于m的不等式f（m2﹣m）+2＞0．29．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．30．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的定义。717384专题：计算题。分析：由题意可知点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中，由此能够推导出点P的轨迹方程．解答：解：设点P的坐标为（x，y），∵|PF1|+|PF2|=10＞|F1F2|=6，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中，故点M的轨迹方程为，故选A．点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆考点：椭圆的定义；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定。717384专题：计算题。分析：设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题．解答：解：x2+y2+6x+5=0配方得：（x+3）2+y2=4；x2+y2﹣6x﹣91=0配方得：（x﹣3）2+y2=100；设动圆的半径为r，动圆圆心为P（x，y），因为动圆与圆A：x2+y2+6x+5=0及圆B：x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则PA=r﹣2，PB=10﹣r．∴PA+PB=8＞AB=6因此点的轨迹是焦点为A、B，中心在（0，0）的椭圆．故选A．点评：本题主要考查了轨迹方程．当动点的轨迹满足某种曲线的定义时，就可由曲线的定义直接写出轨迹方程．3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．10考点：椭圆的定义。717384专题：计算题。分析：由椭圆方程求出a的值，再由椭圆的定义即|PF1|+|PF2|=2a进行求值．解答：解：∵，∴a=5，由于点P到一个焦点的距离为5，由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a﹣5=5．故选B．点评：本题考查了椭圆的标准方程和定义的应用，属于基础题，比较简单．4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段考点：椭圆的定义。717384专题：转化思想。分析：计算出A、B两点的距离结合题中动点P到A、B两点距离之和为常数2，由椭圆的定义进而得到动点P的轨迹是线段．解答：解：由题意可得：A（﹣1，0）、B（1，0）两点之间的距离为2，又因为动点P到A、B两点距离之和为常数2，所以|AB|=|AP|+|AP|，即动点P在线段AB上运动，所以动点P的轨迹是线段．故选D．点评：解决此类问题的轨迹收视率掌握椭圆的定义，以及椭圆定义运用的条件|AB|＜|AP|+|AP|，A、B为两个定点，P为动点．5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10B．8C．6D．不确定考点：椭圆的定义。717384专题：计算题。分析：由于点P在椭圆上，故其到两焦点距离之和为2a，从而得解．解答：解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．点评：本题主要考查椭圆定义的运用，属于基础题．6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的定义。717384专题：计算题。分析：根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．解答：解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故选C．点评：本题考查椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16B．11C．8D．3考点：椭圆的定义。717384专题：计算题。分析：根据A，B两点是椭圆上的两点，写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于4倍的a，根据AB的长度写出要求的结果．解答：解：∵直线交椭圆于点A、B，∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，故选B点评：本题考查椭圆的定义，是一个基础题，这里出现的三角形是一种特殊的三角形，叫焦三角形，它的周长是一个定值二倍的长轴长．8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个考点：椭圆的定义。717384专题：计算题。分析：根据a＜b，对A中元素进行分析可得到答案．解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个故选B．点评：本题主要考查椭圆的标准形式，此题的关键是根据条件得出a＜b．属基础题．9．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．考点：椭圆的定义。717384专题：计算题；转化思想。分析：首先对等式进行化简，进而由椭圆的定义得到点P的轨迹是椭圆，再计算出a，b，c即可得到答案．解答：解：根据两点间的距离公式可得：表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的方程为：．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义，以及掌握形成椭圆的条件是|PF1|+|PF2|＞|F1F2|．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]考点：椭圆的定义；椭圆的简单性质。717384专题：计算题。分析：根据|PA|+|PB|=8，利用椭圆的定义，可知动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆，利用P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值，即可求出|PA|的最大值和最小值．解答：解：动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆∵2c=2，∴c=1，∴2a=8，∴a=4∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5故选C．点评：本题的考点是椭圆的定义，考查椭圆定义的运用，解题的关键是理解椭圆的定义．11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在考点：椭圆的定义。717384专题：计算题。分析：根据题意可得|PF1|+|P