错位相减法求和附答案

第1页共15页错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{an`bn}型数列，其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案]（Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，第2页共15页∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析]（1）当n=1时，解出a1=3,又4Sn=an2+2an－3①当时4sn－1=+2an-1－3②①－②,即，∴,第3页共15页（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.[答案](Ⅰ)由，得是以为公比的等比数列，故.（Ⅱ）由，得第4页共15页…，记…+，用错位相减法可求得：.（注：此题用到了不等式：进行放大.）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时,，；当时，.所以或.（6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，第5页共15页所以，所以两式相减得，所以.（13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，.（6分）（Ⅱ）令………………①…………………②第6页共15页①－②得：，，即，当，，当。的最小正整数为4.（12分）6.数列满足，等比数列满足.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.[解析]（Ⅰ）由，所以数列是等差数列，又，所以，由，所以，，所以，即，所以.（6分)（Ⅱ）因为，所以，则，所以，两式相减的，所以.(12分）第7页共15页7.已知数列满足，其中为数列的前项和．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若数列满足：()，求的前项和公式.[解析]Ⅰ)∵，①∴②②－①得，，又时，，，.（5分）(Ⅱ)∵，，，两式相减得，.（13分）8.设d为非零实数,an=[d+2d2+…+(n-1)dn-1+ndn](n∈N*).(Ⅰ)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;(Ⅱ)设bn=ndan(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.[答案](Ⅰ)由已知可得a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2.第8页共15页当n≥2,k≥1时,=,因此an=.由此可见,当d≠-1时,{an}是以d为首项,d+1为公比的等比数列;当d=-1时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}不是等比数列.(7分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,an=d(d+1)n-1,从而bn=nd2(d+1)n-1,Sn=d2[1+2(d+1)+3(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1].①当d=-1时,Sn=d2=1.当d≠-1时,①式两边同乘d+1得(d+1)Sn=d2[(d+1)+2(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n].②①,②式相减可得-dSn=d2[1+(d+1)+(d+1)2+…+(d+1)n-1-n(d+1)n]=d2.化简即得Sn=(d+1)n(nd-1)+1.综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1.(12分)9.已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m,n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2.(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.[答案](Ⅰ)由题意,令m=2,n=1可得a3=2a2-a1+2=6.再令m=3,n=1可得a5=2a3-a1+8=20.(2分)第9页共15页(Ⅱ)证明:当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8,即bn+1-bn=8.所以,数列{bn}是公差为8的等差数列.(5分)(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列.则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2.另由已知(令m=1)可得,an=-(n-1)2.那么,an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n.于是,cn=2nqn-1.当q=1时,Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1).当q≠1时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1.两边同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1)·qn-1+2n·qn.上述两式相减即得(1-q)Sn=2(1+q1+q2+…+qn-1)-2nqn=2·-2nqn=2·,所以Sn=2·.综上所述,Sn=(12分)10.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an·}的前n项和.[答案](1)设数列{an}的公差为d(d≠0),第10页共15页由条件可知:(2+3d)2=(2+d)·(2+7d),解得d=2.(4分)故数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).(6分)(2)由(1)知an·=2n×32n,设数列{an·}的前n项和为Sn,则Sn=2×32+4×34+6×36+…+2n×32n,32Sn=2×34+4×36+…+(2n-2)×32n+2n×32n+2,故-8Sn=2(32+34+36+…+32n)-2n×32n+2,(8分)所以数列{an·}的前n项和Sn=.(12分)11.已知等差数列满足又数列中,且.(1)求数列,的通项公式;(2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;(3)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.[答案](1)设等差数列的公差为,则有解得，第11页共15页，，数列是以为首项,公比为的等比数列.…………4分(2)由(1)可得，∴得，…………10分(3)，∴当时,取最小值,,，即，第12页共15页当时，恒成立；当时，由，解得,即实数的取值范围是.…………14分12.设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．[答案]188.（1）当时，，解得．当时，，即．又为常数，且，第13页共15页∴．∴数列是首项为1，公比为的等比数列．………………4分（2）由（1）得，，．∵，∴，，∴，∴．∴是首项为，公差为1的等差数列．∴，∴（）．…………………9分（3）由（2）知，则．∴，①，②②－①得，第14页共15页∴．………………14分13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+=λ(λ为常数),令cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Rn.[答案](Ⅰ)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1得解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,n∈N*.(Ⅱ)由题意知:Tn=λ-,所以n≥2时,bn=Tn-Tn-1=-+=.故cn=b2n==(n-1),n∈N*.所以Rn=0×+1×+2×+3×+…+(n-1)×,则Rn=0×+1×+2×+…+(n-2)×+(n-1)×,两式相减得第15页共15页Rn=+++…+-(n-1)×=-(n-1)×=-,整理得Rn=.所以数列{cn}的前n项和Rn=.