人教版高中数学必修5第三章不等式-3.3.2-简单的线性规划问题

3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问题.1.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？(1)设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：2841641200.xyxyxy，，，，将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标为整数的点时,安排生产任务都是有意义的.(,)Pxy,xyy0x434828xy4x=3y简单线性规划问题及有关概念进一步，若生产一件甲种产品获利2万元,生产一件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为：当x、y满足不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？2223,3333zzxyyxzy把变形为,这是斜率为在轴上的截距为的直线,3Pzz当点在可允许的取值范围内变化时，求截距的最值,即可得的最值..z当变化时，可以得到一组互相平行的直线002:.3lyxl故可先作出过原点的直线，再作的平行线02:3lyx0x434828xy4x=3y(4,2)M233428zyxxxy由图可知当直线经过直线与直线即的最大值为243214.zz所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂获得最大利润14万元.3z最大值为14.3的交点(4,2)M时，截距的值最大，y上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件.2841641200xyxyxy，，，，1.线性约束条件我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标函数.又因为z=2x+3y是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数.2.线性目标函数3.线性规划一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解.4.可行解、可行域、最优解（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又当如何安排生产才能获得最大利润？（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=3x+2y.3332,2222zzxyyxzy把变形为,这是斜率为在轴上的截距为的直线.03:2lyxOx434828xy4x=3y(4,2)My322428zyxxxy由图可知当直线经过直线与2z最大值为8.的交点(4,2)M时截距的值最大，即的最大值为342216.zz所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂获得最大利润16万元.（2）将目标函数变形为将求的最值问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题；(0)zaxbyb,azyxbbzyzb在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：（1）在平面直角坐标系内画出可行域；azyxbb（3）画出直线=0axby并平行移动，或最后经过的点为最优解；平移过程中最先（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值.简单线性规划问题的图解方法例1设z＝2x＋y，式中变量x、y满足下列条件：求z的最大值和最小值.43,3525,1,xyxyx分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.42246yxOCAB35250xy430xy1x解：作出如图所示的可行域，0:20lxy作0:20,lxy0//.ll及当直线经过点B时，对应的最小，当直线经过点A时，对应的最大.lzlz1,(1,1),430.3525,(5,2).430.=21+1=3=25+2=12.xBxyxyAxyzz最小值最大值由得由得，,解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案.（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；最优解一般在可行域的顶点处取得．43,2,3525,(0),1..xyxyxyzaxyaxza例已知满足设若取得最大值时，对应点有无数个，求的值分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时.作出可行域，结合图形，看直线与哪条边界线重合时，可取得最大值.:lyaxz解：当直线与边界线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，33,.553.5AClkkaa即:lyaxz.lACkk此时有yxOCBＡ1x43xy3525xy且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k等于().1.已知x、y满足50,3,0,xyxxykA.2B.9C.310D.0D求的最大值和最小值.2.已知满足1,53,5315.yxxyxy,xy2zxy12.22由得zzxyyx解：作出如图所示的可行域，0:20,lxy作并平行移动,351xO5315xy1yx53xyB(1.5,2.5)A(-2,-1)Cy20xy当直线l经过点B时，对应的z最小，当直线l经过C时，对应的z最大.∴z最小值=1.5-2×2.5=-3.5z最大值=3-0=3.2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤.最优解在可行域顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；第2课时简单线性规划的应用1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题；2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高数学建模和解决实际问题的能力.在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.二是给定一项任务，如何合理安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.简单线性规划问题及在实际问题中的应用一.用量最省问题例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?分析:将已知数据列成下表：0.070.140.1050.140.070.105BA脂肪/kg蛋白质/kg碳水化合物/kg食物/kg解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z.那么x,y满足的约束条件是:01050105007500701400601400700600.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.①目标函数为z=28x+21y.作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.775,7146,1476,0,0.xyxyxyxy②二元一次不等式组①等价于zz2121yz是直线在轴上的截距，当取最小值时，的值最小.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.428213214-z3zzxyyx考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.xyO1476xy7146xy37475767137576743yxy775xyM由图知,当直线经过可行域上点M时,截距最小,即z最小.4321zyx21z解方程组得M的坐标为7751476xy,xy,14()77,.所以zmin=28x+21y=16.答：每天食用食物A约为143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.解线性规划应用问题的一般步骤：1.理清题意，列出表格；2.设好变元，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数；3.准确作图；4.根据题设精度计算.例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:A规格B规格C规格第一种钢板第二种钢板211213今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求．问各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？规格类型钢板类型分析：列表A规格B规格C规格第一种钢板第二种钢板211213张数成品块数xy2xy2xy3xy解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这两种钢板共z张，则21521832700xy,xy,xy,x,y.线性目标函数.zxy2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy0xyM作出一组平行直线z=x+y，当直线经过可行域上的点M时，z最小.作出可行域如图所示：由于都不是整数，而此问题中的最优解中，必须都是整数，所以点不是最优解.在可行域内打出网格线，解方程组327,215,xyxy1839(,).55M1839,55得(,)xy,xy1839(,)552x+y=15x+3y=27x+2y=18B(3,9)C(4,8)xOy1839(,)55M0xy经过整点B(3,9)和C(4,8)，=12xy直线它们是最优解.z=12.最小值答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；这两种截法都至少要两种钢板12张.求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确.例3一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现在库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？二、效益最佳问题解：设生产x车皮甲种肥料、y车皮乙种肥料，能够产生利润为z万元，则目标函数为分析：列表418115甲种肥料乙种肥料磷酸盐t硝酸盐t总吨数车皮数4xy1815xyxy利润10000元5000元41018156600.，，，xyxyxy0.5zxyyxO123452468104=10xy1815=66xy作出可行域，2yxM22yxzMz当直线经过可行域上的点时，最大.0.522.zxyyxz把变形为得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线max181566,(2,2).410,220.53.xyMxyz解方程组得的坐标为答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.利用简单线性规划求变量的范围例4若二次函数的图象过原点