【原创】立体几何问题的两类常见解题思路

LoadingFiles20%40%60%80%100%2math.cn六年之约约而不简立体几何SolidGeometryBy:Castelu传统向量总结帮助网站首页邮件目录目录向量公式几何体三角函数平面几何坐标系定理开始Guest©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15传统向量总结帮助网站首页邮件目录立体几何是三维欧氏空间几何的传统名称，一般作为平面几何的后续课程，它研究的核心问题是空间中点线面的位置关系和度量关系。立体几何既是多元函数微积分学的基础，又是空间解析几何的基础。由于立体几何问题题目抽象，解题时技巧性强，入门困难。因此，本人在学习了空间解析几何之后，居高临下，总结自己曾经学习立体几何时的经验，将立体几何问题的两类常见解题思路罗列于本课件，适用于已有立体几何基础的学习者作巩固提高用。需要说明的是，本课件所收录的解题思路并不一定能解决所有的立体几何问题。©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15传统向量总结帮助网站首页邮件目录传统方法向量方法基本概念位置关系度量关系基本概念位置关系度量关系目录Content©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15基本概念基本概念四大公理八大定理重要定理公理1公理1公理1公理1线面平判线面平性面面平判面面平性线面垂判线面垂性面面垂判面面垂性三垂线定理最小角定理1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15基本概念①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。④平行于同一直线的两直线平行。①一组平行直线确定唯一一个平面。②一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。▶公理▶推论1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15基本概念①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。①一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。夹在两个平行平面间的平行线段相等。平行于同一平面的两个平面平行。▶平行判定▶平行性质1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15基本概念①一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。②如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。①垂直于同一个平面的两条直线互相平行。如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。②如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。▶垂直判定▶垂直性质1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15基本概念①平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。②如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。▶三垂线定理1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15基本概念▶最小角定理12coscoscos平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。两个小角的余弦积等于最大角的余弦值。如图，设A为平面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么：1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15位置关系空间元素点直线平面点直线平面点直线平面211213CC©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15位置关系面面平行线面平行线线平行面面垂直线面垂直线线垂直空间平面2©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15位置关系例题2111111111,-,,2,,,.(1):;(2):.ABCDABCDAAADaABaEFCDADDEBCEAFBDE如图在长方体中分别为的中点求证平面求证平面©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:15位置关系解答112,2,2DEaCEaDCaDEECBCCCDDBCDEDEBCE平面平面2©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16位置关系解答,52ACBDOOEEFAOAFEOaFEOAAFOEAFBDE连接交于点连接菱形平面2©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系点直线平面点直线平面点直线平面点直线平面1113216CCC度量关系距离夹角311213CC©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系策略平移射影等积分割补形展开比值3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系例题1111111,-,,,.ABCDABCDPAAOABCDPOCBD如右图已知正方体中为的中点为底面的中心求与截面所成的角3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系解答11111111111,,,,,.,.,.,,90.oACACPOAAACPOACAAABCDACABCDACBDACBDACACCBDPOCBDPOCBD连接因为分别为的中点所以因为底面所以在底面的射影为又因所以所以截面截面与截面所成的角为3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系例题2,,2,120,4,.oABCABBCABCABCPPBABC如右图已知等腰三角形中所在平面外一点到三角形三顶点的距离都等于求直线与平面所成的角3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系解答2,.,,2.,24.,2,sinsin304,60,60.oooPOABCOPAPBPCOAOBOCOABCBCOBRRRtPOBOBBACPBPBOPBABC作平面为垂足因为所以为的外接圆的圆心设则在中所以即直线与平面所成的角为3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系例题3,,,,,,??ABCDABaCDbABCDdABCDV如右图若四面体中和的距离为问当棱与所成角为何值时该四面体体积有最大值最大值是多少3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系解答3---,,,,.,,111sinsin.3261,90,,6ABCDABDEDABEoBBECDBECDABEABEDABEABCDdVVVVBEABdabdABCDVabd我们注意到异面直线所成角的定义过作并使那么这样在中就聚集了大部分的已知条件到平面的距离就是和的距离因此从而当即当对棱和垂直时四面体体积有最大值3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系例题4,,3,3,,2,?2ABCDEFABCDEFABEFEFAC如右图所示在多面体中已知是边长为的正方形与面的距离为则该多面体的体积为3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系解答4,,,,.,,,-15-,.2EAFEGBFABGEECEHFCCDHGHEGHABCDEFEAGHDBCFGHE这是一个陌生的多面体它异于熟悉的柱锥台没有现成的公式可供计算若过在平面中作交于过在平面中作交于连接则截面把多面体分割成熟悉的四棱锥与三棱柱容易求得它们的体积和为3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系例题51111,,,().AAABCDAABCABAACD如右图已知与正方形所在平面垂直且求平面与所成二面角锐角的大小3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系解答511111111--,.,,,,.45.oAABCDABCDABCDABDAA将四棱锥补形成正方体则所求二面角的棱为通过补形整体上宏观地把握局部问题居高临下巧妙地突破了问题的难点易证即为所求二面角的平面角故所求二面角为3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系例题6,-,2,,,,.SABCbbEHSBSCSAEEHHA如右图设正三棱锥的底面边长为侧棱长为分别是上的动点求线段和的最小值3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系解答633,,,,',.,12sin.22431111sin3sin-4sin3-4.222441631122sin.24AEHASASBbbbSb从展开图可以看到当共线时取得最小值设则易得所以的最小值为3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系例题7,,4020,213,.,?3cmcmd某工厂食堂用圆台形缸盛满食油已知此缸上下底面半径分别为和后油的高度降为原来的若每天用油量相等剩余的油还可以用多少天3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16度量关系解答712331332333,,,,.327,5-398,6-591.,91:1398:,14.14.VVVVaaVaaaVaaaxdaaxxd如右图将圆台补成圆锥记从下至上三部分的体积分别为设由圆锥平行于底的截面的性质得剩余的油还可以用由题设得解得故剩余的油还可以用3©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16基本概念基本概念方向向量法向量直线的方向向量平面的法向量1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16基本概念把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量．如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：212121,,ABxxyyzz▶方向向量1©2008-20142math六年之约约而不简首页2math.cn传统向量总结帮助21:16基本概念▶法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α，称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，这时向量n叫做平面α的法向量。如图，设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量，由直线与平面垂直的判定定理知，若n⊥a且n⊥b，则n⊥α。换句话说，若n·a=0且n·b=0，则n⊥α。第一步（设）：设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z)。第二步（列）：根据n·a=0且n·b=0可列出方程组：第三步（解）：把z看作常