圆锥曲线中的最值和范围问题(高二)

.1页圆锥曲线中最值和范围问题班级________姓名___________学号_________【问题呈现】1．椭圆14922yx上一动点M满足：21MFF为钝角，则M点横坐标的取值范围_______．2．已知点3(,0)2A，P是抛物线24yx上一动点，则PA的最小值为___________．3．椭圆1422yx上一动点P，则P到直线04:yxl的距离最小值为：________．4．已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为__________．5．斜率为1的直线l与椭圆2214xy交于A,B两不同点，则线段AB中点M的轨迹方程为_______．【方法小结】求解范围问题的一般方法：（1）结合定义，利用图形找出几何量的有界性；（2）构造一个二次方程，利用判别式0；（3）函数法是探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．（4）利用代数基本不等式．代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它们的应用价值在于：①通过参数简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题．【典题剖析】例1已知圆⊙8)1(:22yxC，)0,1(C动圆与⊙C相切且过定点)0,1(B；（1）求动圆圆心的轨迹E方程；（2）过点),0(tD，11t倾斜角为45的直线l与轨迹E交于NM,两点，求NMCB,,,四点围成的四边形面积的最大值。.2页例2已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→·RQ→的最小值．.3页课后练习1．已知)0,(),0,(21cFcF为椭圆12222byax的两个焦点，点P在椭圆上且221cPFPF，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．3[,1)3B．11[,]32C．32[,]32D．2(0,]22.已知点P在圆1)2(22yx上，点Q在椭圆1922yx上，则maxPQ=___________。3．已知点A,B在抛物线xy42上，且A,B满足8AB，则线段AB的中点到y轴距离的最小值为：___________。4.已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA→＋OB→＝(－4，－12)．（1）求直线l和抛物线C的方程；（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．.4页5.（2010浙江）(21)（本题满分15分）已知m＞1，直线2:02mlxmy，椭圆222:1xCym，1,2FF分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于,AB两点，21FAF，21FBF的重心分别为,GH．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．.5页答案例1（Ⅰ）解：设动圆圆心为P，则22PCPB，所以动圆圆心是以CB,为焦点的椭圆，方程为1222yx。（Ⅱ）设txyl:，代入1222yx得：0224322ttxx，设),(11yxM，),(22yxN则322340)22(12162212122txxtxxtt，解得：32t（1）若11t，则212121xxyyABSMANB212214)(xxxx，3224)34(22tt36232622t（0t取等号。）（2）若31t或13t则21)1()1(21ytytSMANB))(1())(1(2121txttxt)2()(212121txxxxt36233223)26(26222ttt36233223)26(26222tttNMCB,,,四点围成的四边形面积的最大值为362。例2解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．MNCBOxyMNCBOxy.6页∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.∵直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为(－2k，－1)，RP→·RQ→＝(x1＋2k，y1＋1)·(x2＋2k，y2＋1)＝(x1＋2k)(x2＋2k)＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(2k＋2k)(x1＋x2)＋4k2＋4＝－4(1＋k2)＋4k(2k＋2k)＋4k2＋4＝4(k2＋1k2)＋8，∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→·RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→·RQ→的最小值为16.练习4分析(1)根据根与系数关系和OA→＋OB→＝(－4，－12)列方程组，利用待定系数法求解；(2)线段AB的长度为定值，只要求点P到直线AB的最大值即可．解析(1)由y＝kx－2，x2＝－2py，得x2＋2pkx－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.因为OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以－2pk＝－4，－2pk2－4＝－12.解得p＝1，k＝2.所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)解法一：设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，y′＝－x，所以－x0＝2⇒x0＝－2，y0＝－12x20＝－2，所以P(－2，－2)．此时点P到直线l的距离d＝(－)－(－)－2|22＋(－)2＝45＝455，由y＝2x－2，x2＝－2y，得x2＋4x－4＝0，|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1·x2＝1＋22·(－4)2－(－4)＝410.∴△ABP的面积最大值为410·4552＝82.解法二：由y＝2x－2，x2＝－2y，得x2＋4x－4＝0，|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1·x2＝1＋22·(－4)2－(－4)＝410，.7页设P(t，－12t2)(－2－22t－2＋22)，因为AB为定值，当点P到直线l的距离d最大时，△ABP的面积最大，d＝|2t＋12t2－2|22＋(－)2＝|12(t＋2)2－4|5，因为－2－22t－2＋22，所以当t＝－2时，dmax＝455，此时P(－2，－2)．∴△ABP的面积最大值为410·4552＝82.练习5解：（Ⅰ）由题设知1212||||22||EFEFFF,根据椭圆的定义，E的轨迹是焦点为1F，2F，长轴长为22的椭圆，设其方程为222210xy(ab)ab则1c，2a，1b，所以C的方程为2212xy.……5分（II）依题设直线l的方程为(1)ykx.将(1)ykx代入2212xy并整理得，2222(21)4220kxkxk.2880k.…6分设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则2122421kxxk，21222221kxxk……7分设MN的中点为Q，则22221Qkxk，2(1)21QQkykxk，即2222(,)2121kkQkk.……8分因为0k，.8页所以直线MN的垂直平分线的方程为22212()2121kkyxkkk，…9分令0x解得，211212Pkykkk，……10分当0k时，因为1222kk，所以204Py；…12分当0k时，因为1222kk，所以204Py.……13分综上得点P纵坐标的取值范围是22[,0)(0,]44.……14分