圆锥曲线的范围、最值问题

圆锥曲线的最值、范围问题与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．一、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知(40),(2)AB，，2是椭圆221259xy内的两个点,M是椭圆上的动点,求MAMB的最大值和最小值．【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论AMB、、三点是否共线,总有MAMBAB,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P为抛物线xy42上一个动点,Q为圆1)4(22yx上一个动点,当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时,点P的横坐标为（）A．8179B．89C．817D．17【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P到点Q的距离与点P到准线距离之和的最小值就是点P到点Q的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.【解析】设P到抛物线准线的距离为d,抛物线的焦点为F,圆心为C,则minmin171PQdPQPFCFr,故选A.二、单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆C：222210xyabab的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线01yx与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设P为椭圆上一点,若过点)0,2(M的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足OPtOTOS(O为坐标原点),求实数t的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(aycx,圆心到直线01yx的距离dac21；根据椭圆)0(1:2222babyaxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,cba22代入*式得1bc,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为)2(xky,设00,yxp,将直线方程代入椭圆方程得：0288212222kxkxk,根据081628214642224kkkk得到212k；设11,yxS,22,yxT应用韦达定理222122212128,218kkxxkkxx.讨论当k=0,0t的情况,确定t的不等式.【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(aycx,∴圆心到直线01yx的距离dac21*∵椭圆)0(1:2222babyaxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,cba22代入*式得1bc∴22ba故所求椭圆方程为.1222yx（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为)2(xky,设00,yxp将直线方程代入椭圆方程得：0288212222kxkxk∴081628214642224kkkk∴212k设11,yxS,22,yxT则222122212128,218kkxxkkxx………………8分当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,OPtOTOS成立,故,t=0符合题意.当0t时得22210221210218214)4(kkxxtxkkxxkyyty∴,2181220kktx202141kkty将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224ktkktk整理得：2222116kkt由212k知402t所以22t（，）【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于abc、、的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P在椭圆上和向量式得()tfk,进而求函数值域．【小试牛刀】【2017河南西平县高级中学12月考】已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为32的椭圆过点2(2,)2．[来源:Z。xx。k.Com]（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围．【答案】（1）2214xy；（2）(0,1)．【解析】（1）由题意可设椭圆方程22221(0)xyabab,则223,2211,2caab解得2,1,ab所以方程为2214xy．（2）由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为ykxm（0m）,11(,)Pxy,22(,)Qxy,由22,1,4ykxmxy得222(14)84(1)0kxkmxm,则222226416(14)(1)kbkbb2216(41)km0,且122814kmxxk,21224(1)14mxxk,故1212()()yykxmkxm221212()kxxkmxxm．因直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以221212121212()yykxxkmxxmxxxx2k,即22228014kmmk,又0m,所以214k,即12k．由于直线OP,OQ的斜率存在,且0,得202m且21m．设d为点O到直线l的距离,则22121||||||(2)22OPQSdPQxxmmm,所以OPQS的取值范围为(0,1)．三、二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．[来源:学|科|网]【例2】若点O、F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OPPF的最大值为【分析】设点Pxy（，）,利用平面向量数量积坐标表示,将OPPF用变量xy，表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．【小试牛刀】抛物线xy82的焦点为F,点),(yx为该抛物线上的动点,又已知点)0,2(A,则||||PFPA的取值范围是.【答案】]2,1[【解析】由抛物线的定义可得2||xPF,又xxyxPA8)2()2(||222,448128)2(||||22xxxxxxPFPA,当0x时,1||||PFPA；当0x时,44814481||||2xxxxxPFPA,4424xxxx,当且仅当xx4即2x时取等号,于是844xx,1448xx,]2,1(4481xx,综上所述||||PFPA的取值范围是]2,1[.四、双参数最值问题该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．【例3】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221(1)xyabab＞≥的离心率32e,且椭圆C上一点N到点Q03（，）的距离最大值为4,过点3,0M（）的直线交椭圆C于点.AB、（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且满足OAOBtOP（O为坐标原点）,当3AB＜时,求实数t的取值范围.【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到a与b的关系,又因为椭圆上的N点到点Q的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为N在椭圆上,所以22244xby,代入表达式,利用配方法求最大值,从而求出21b,所以24a,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设,,APB点坐标,由题意设出直线AB方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示OAOBtOP得出,xy,由于点P在椭圆上,得到一个表达式,再由||3AB,得到一个表达式,2个表达式联立,得到t的取值范围.【解析】（Ⅰ）∵2222223,4cabeaa∴224,ab则椭圆方程为22221,4xybb即22244.xyb设(,),Nxy则22222(0)(3)44(3)NQxybyy222236493(1)412yybyb当1y时,NQ有最大值为24124,b解得21,b∴24a,椭圆方程是2214xy（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),AxyBxyPxyAB方程为(3),ykx由22(3),1,4ykxxy整得2222(14)243640kxkxk.由24222416(91)(14)0kkkk＞,得215k＜.2212122224364,.1414kkxxxxkk∴1212(,)(,),OAOBxxyytxy则2122124()(14)kxxxttk,12122116()()6.(14)kyyykxxktttk由点P在椭圆上,得222222222(24)1444,(14)(14)kktktk化简得22236(14)ktk①又由21213,ABkxx＜即221212(1)()43,kxxxx＜将12xx,12xx代入得2422222244(364)(1)3,(14)14kkkkk＜化简,得22(81)(1613)0,kk＞则221810,8kk＞＞,∴21185k＜＜②由①,得22223699,1414ktkk联立②,解得234,t＜＜∴23t＜＜或32.t＜＜【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P在椭圆上,和已知向量等式得变量,kt的等量关系,和变量,kt的不等关系联立求参数t的取值范围．【小试牛刀】已知圆)0(2:222rryxM,若椭圆)0(1:2222babyaxC的右顶点为圆M的圆心,离心率为22.（1）求椭圆C的方程；（2）若存在直线kxyl:,使得直线l与椭圆C分别交于BA,两点,与圆M分别交于HG,两点,点G在线段AB上,且BHAG,求圆M的半径r的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,因为1,1,22,2bcaca所以椭圆的方程为12:22yxC.显然,若点H也在线段AB上,则由对称性可知,直线kxy就是y轴,与已知矛盾,所以要使BHAG,只要GHAB,所以)1321(2132)133(221221)1(212)12(421)1(8244242422222222222kkkkkkkkkkkkrkkrkk当0k时,2r.当0k时,)211(2)23111(2242kkr3,又显然2)23111(2242kkr,所以32r.综上,圆M的半径r的取值范围是)3,2[.圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及