高一数学函数的概念及表示方法

全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem全方位教学辅导教案姓名性别年级高一教学内容函数与映射的概念及其函数的表示法重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法3.了解映射的概念及表示方法4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学过程课前检查与交流作业完成情况：交流与沟通针对性授课一、函数的概念一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等奎屯王新敞新疆问题1：1y（Rx）是函数吗？问题2：xy与xxy2是同一函数吗？观察对应：0300450600902122239411-12-23-33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开平方求正弦求平方乘以2AAAABBBB1二、讲解新课：全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem（一）函数的有关概念设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的函数，记作)(xfy，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数)(xfy的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(（B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(xfy表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf.(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应BAf:这里A,B为非空的数集.（2）A：定义域，原象的集合；Axxf|)(：值域，象的集合,其中Axxf|)(B；f：对应法则，xA，yB（3）函数符号：)(xfyy是x的函数，简记)(xf（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数baxxf)()0(a:定义域R,值域R;2．反比例函xkxf)()0(k:定义域0|xx,值域0|xx;3．二次函数cbxaxxf2)()0(a:定义域R值域：当0a时，abacyy44|2；当0a时，abacyy44|2（三）函数的值：关于函数值)(af例：)(xf=2x+3x+1则f(2)=22+3×2+1=11注意：1在)(xfy中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样奎屯王新敞新疆2)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”奎屯王新敞新疆3)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数奎屯王新敞新疆（四）函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域Axxf|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数奎屯王新敞新疆三、例题讲解例1求下列函数的定义域：①21)(xxf；②23)(xxf；③xxxf211)(.例2已知函数)(xf=32x-5x+2，求f(3),f(-2),f(a+1).例3下列函数中哪个与函数xy是同一个函数？全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem⑴2xy；⑵33xy；⑶2xy例4下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①3)5)(3(1xxxy52xy②111xxy)1)(1(2xxy③21)52()(xxf52)(2xxf二、函数－区间的概念及求定义域的方法教学过程：一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定奎屯王新敞新疆前面我们已经学习了函数的概念，，现在我们来学习区间的概念和记号奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,bR,且ab.我们规定：①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b),(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定义名称符号数轴表示{x|axb}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|axb}左闭右开区间[a，b]{x|axb}左开右闭区间(a，b)这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合分别表示为[a，+)，（a，+）,(-,b],(-,b).注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.2．求函数定义域的基本方法我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.例1已知10)(xxf)0()0()0(xxx)]}1([{)0(;)1(;)1(ffffff例2已知f(x)=x21g(x)=1x求f[g(x)]例3求下列函数的定义域：①14)(2xxf②2143)(2xxxxf③)(xfx11111④xxxxf0)1()(⑤373132xxy全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem例4若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a的取值范围奎屯王新敞新疆例5若函数)(xfy的定义域为[1，1]，求函数)41(xfy)41(xf的定义域奎屯王新敞新疆求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.求解函数解析式例6已知f(x)满足xxfxf3)1()(2，求)(xf；例7设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf且)(xf=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(xf的解析式.四、练习：全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem1．设)(xf的定义域是[3，2]，求函数)2(xf的定义域奎屯王新敞新疆2．已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式奎屯王新敞新疆3．若xxxf21(）,求f(x)奎屯王新敞新疆检测：补充：1已知：)(xf=x2x+3求：f(x+1),f(x1)2已知函数)(xf=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].3若xxxf1)1(求f(x)三、函数－映射内容分析：本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识奎屯王新敞新疆因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念奎屯王新敞新疆映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解奎屯王新敞新疆集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合奎屯王新敞新疆随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子奎屯王新敞新疆映射是现代数学的一个基本概念教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系奎屯王新敞新疆②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应奎屯王新敞新疆③坐标平面内任意一点A都有唯一的有序数对(x,y)和它对应奎屯王新敞新疆④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应奎屯王新敞新疆全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射.二、讲解新课：看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集0300450600902122239411-12-23-33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开平方求正弦求平方乘以2AAAABBBB1说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应奎屯王新敞新疆映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射奎屯王新敞新疆记作：BAf:象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且BbAa,，如果元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，