勾股定理及其应用

第五次课勾股定理及其应用本章知识要点A.勾股定理及其逆定理。B.验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。C.勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。D.勾股定理及其逆定理的应用。E.感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。内容/概念表示方法/举例勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b表示直角三角形的两直角边，c表示斜边，那么222cba勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边满足：两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形用cba,,（c为最长边）表示三角形的三边，如果222cba，那么这个三角形是直角三角形勾股数满足222cba的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等基本勾股数组满足222cba且cba,,互质的三个正整数，称为一组基本勾股数组常见的基本勾股数组有：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等重点知识勾股定理的验证验证方法验证过程（美）伽菲尔德总统拼图如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以22121221cabbaba，即222cba赵爽弦图如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以ab为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长为c，所以面积为2c，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为ba,的直角三角形和一个边长为ab的正方形，所以其面积为2214abab所以22214ababc，从而222bac.刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以ba,为边长的两个正方形的面积之和名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理重点知识确定几何体上的最短路线描述示意图几何体的侧面展开图长方体将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方形圆柱圆柱的侧面展开图是一个长方形222BBABAB名师提示(1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径.(2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范(3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。9EDBACF7DAEBCF展开5甲AEFD丙DAEBF乙BABA展开例1两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,CA，CC，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形DCBC的面积验证勾股定理222cba.例2(1)在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26中，勾股数组有：______________；基本勾股数组有_____________。(2)已知ABC中，oB90，CBA,,的对应边分别是cba,,，且12,5ba，则2c(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4，第三边的平方为例3已知，如图1-1-2，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积ADCB图1-1-1图1-1-5图1-1-6例4如图1-1-4，已知在△ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高AD的长.例5（1）已知Rt△ABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点．当AD是∠A的平分线时，求CD的长？（2）如图1-1-5，一张长为8cm,宽为4cm的矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C恰好落在点A上，求AE的长。（3）如图1-1-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积.．图1-1-4例6.（1）如图1-2-9（1），有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）（2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？例7如图1-2-6，A、B两个小镇在河流CD同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用.图1-2-9（1）图1-1-9（2）图1-2-6例8如图1-2-7，一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，求梯子底端将向左滑动多少米？家庭作业1.下列结论错误的是（）A.三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；B.三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；C.三条边长比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；D.三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。2.在ABCRt中，斜边AB=1，则式子222ACBCAB的值为（）A、2；B、4；C、6；D、83.直角三角形的两直角边分别为5、12，则它斜边上的高为（）A13B8.5C1360D13304.图1-1-1中两个正方形阴影部分面积分别为A=162cm,B=252cm,则直角三角形的面积为（）A.62cmB.122cmC.242cmD.32cm5.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC＝，CH＝，MH＝图1-2-7图1-1-16.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．7.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，则AD=.8.如图1-1-2，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15,BD=5，则BC的长为9.如图1-1-5，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？10.如图1-1-6，一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。这个梯子顶端离地面有多高？如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？图1-1-2图1-1-6CDBA图1-1-511.如图1-2-11，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？图1-2-11