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第9讲相遇问题知识网络相遇问题属于行程问题。无论是走路、行车还是物体的移动，总是要涉及到三个量：路程、速度、时间。路程、速度、时间三者之间的数量关系，不仅可以表示成：路程=速度×时间，还可以变形成以下两个关系式：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度一般的相遇问题：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在A地到B地之间的某处相遇，实质上是甲、乙两人一起走了这段路程，如果两人同时出发，那么有：甲走的路程+乙走的路程=全程甲（乙）走的路程=甲（乙）的速度×相遇时间全程=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间重点·难点以上给出的是相遇问题的一般情况，但在实际问题中，两人可能不同时出发，或其他条件比起一般情况发生变化，要注意区分。学法指导相遇问题的计算关系式为：总路程=速度和×相遇时间这里的总路程指两人从出发到相遇共同走的路程；“速度和”指两人在单位时间内共同走的路程；“相遇时间”指从出发到相遇所经历的时间。通常情况下对于相遇问题的求解还要借助于线段图来进行直观地分析和理解题意，以突破难点。经典例题[例1]甲乙两站相距840千米，两列火车同时从两站相对开出，8小时后相遇，第一列火车的速度是每小时52千米，问第二列火车的速度是多少？思路剖析相遇时第一列火车走的路程与第二列火车走的路程的和为全程。而路程=速度×时间，那么第一列火车速度×相遇时间+第二列火车速度×相遇时间=全程。因此第一列火车速度+第二列火车速度=全程÷相遇时间。再由已知的第一列火车的速度，那么第二列火车的速度可知。解答两列火车的速度和：840÷8=105（千米／小时）第二列火车的速度：105-52=53（千米／小时）答：第二列火车的速度是53千米／小时。[例2]上午9时，小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动，小宇骑自行车，每分钟行300米；弟弟步行，每分钟行70米。小宇到达学校后，呆了30分钟后立即返回家中，途中遇到正前往学校的弟弟时是10时10分。你知道从家到学校有多远吗？思路剖析虽然小宇和弟弟同时从家中出发，似乎不符合相遇问题的条件，但在整个的行走过程中隐含着一个相遇问题，即小宇从学校返回，而弟弟正在途中向学校走去，直到两人相遇。我们用图1示将二人的行走路线表示出来，以便于理解。从图1中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的2倍。那么只需求出两人共走了多少路程，则从家到学校这段路程可求。解答从9点到10点10分，共有70分钟，小宇走了70-30=40分钟，弟弟一直没停，则弟弟走了70分钟。（300×40+70×70）÷2=（12000+4900）÷2=8450（米）答：从家到学校距离8450米。点津对于一些叙述上比较复杂的题目，通过图示法把题意表示出来，可以排除一些无用条件的干扰。[例3]有甲、乙两列火车，甲车长96米，每秒钟行驶26米，乙车长104米，每秒钟行驶24米，两车相向而行，从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开，需要多少秒钟？思路剖析假设乙列车停止不动，那么易知甲行走的路程为两个列车的车身长：96+104=200（米）。而实际上乙列车没有停，它的速度是24米／秒，也就相当于乙列车把它的速度“给”了甲列车，使自己的速度为0。相当于甲车速度为：26+24=50（米／秒），那么从相遇到离开的时间=列车长度和÷速度和。解答两列车车身长度和：96+104=200（米）两列车的速度和：26+24=50（米／秒）时间：200÷50=4（秒）答：两车从相遇到离开所用时间为4秒。点津两车从相遇到离开，此过程的特点一直是动对动，考虑起来很复杂，但我们可以假设其中一列车不动，将问题转化成动对静时，就容易解了。[例4]田田坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他的窗口。后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒。已知货车车长180米，求货车的速度。思路剖析田田坐在列车上，货车用6秒通过他的窗口，这是一个相遇问题，是田田与货车相遇，因此与列车车长无关。假设田田不动，则货车行驶了一个货车车长，用时6秒。由速度和=全程÷相遇时间，可求田田与货车的速度和，田田的速度即列车的速度。那么只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度，此问题可解。解答列车与货车的速度和：180÷6=30（米／秒）列车的速度：234÷13=18（米／秒）货车的速度：30－18=12（米／秒）答：货车每秒钟行驶12米。点津此问题不同于单纯的列车相遇，因为所给的条件是从在车上的人的角度给出的，而人在此问题中是被看做一点，没有长度。列车过隧道也是按照从田田进隧道，到出隧道来计算时间的，因此与列车的车长无关。[例5]苏步青是我国著名的数学家，他小时候，有人曾给他出了这样一道数学题：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是1000米，甲每分钟走120米，乙每分钟走80米，甲带着一只狗，狗每分钟走500米，这只狗与甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲的时候，又往乙这边走，直到两人相遇，问这只狗走了多少米？你能像苏步青一样，很快说出这道题的答案吗？思路剖析根据关系式路程=速度×时间，要求出狗走的路程，必须知道速度和所用的时间。狗的速度是每分钟500米，关键求出狗走的时间。由题意知，狗是与人同时行走，直到甲、乙两人相遇，那么狗走的时间与甲、乙两人的相遇时间相等。解答甲、乙两人相遇时，所用的时间：1000÷（120+80）=1000÷200=5（分钟）也就是说狗在甲、乙两人之间来回跑所用的时间是5分钟，则狗跑的路程是：500×5=2500（米）答：狗一共跑了2500米。点津此题乍看起来很复杂，狗在两人之间跑来跑去似乎存在着多个相遇的问题。但仔细审题会发现在表面上变化的条件中存在着不变的数量和关系，找出它，问题就解决了。[例6]甲、乙两列火车，同时从南、北两地相向而发，甲车速度50千米／小时，乙车速度42千米／小时，两车在离中点40千米处相遇，求南、北两地间的距离是多少千米？思路剖析要求总的路程，需知道两车的速度和以及相遇时间。从题中条件可知甲、乙两车的速度和：50+42=92（千米／小时）。从“两车在离中点40千米处相遇”，可以求出甲车比乙车多行40×2=80（千米）。由于甲车速度快，甲车每小时比乙车多行50－42=8（千米），则可求出甲、乙两车的相遇时间，那么全程可求。解答两车的相遇时间：40×2÷（50－42）=80÷8=10（小时）两车的速度和：50+42=92（千米/小时）南、北两地间距离：92×10=920（千米）答：南、北两地间的距离是920千米。[例7]甲、乙两列火车同时分别从A、B两地相对开出，甲车的速度是58千米／小时，乙车的速度是46千米／小时，甲、乙两车相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，立即按原路返回，两车从开始到第二次相遇共用9小时，求A、B两地相距多少千米？思路剖析甲、乙两车从开始出发到第一次相遇共同行完一个A、B间的路程，当甲到达B地，乙到达A地时，共同行完两个A、B间的路程。甲、乙分别从B地、A地返回到第二次相遇时，又共同行完一个A、B间的路程，则从开始到两车第二次相遇，9个小时，两车共同行驶了A、B间路程的3倍。解答甲、乙两车的速度和：58+46=104（千米／小时）3个A、B间的路程：104×9=936（千米）A、B间的距离：936÷3=312（千米）答：A、B两地相距312千米。发散思维训练1．一列火车通过108米的铁桥需用52秒，通过84米的铁桥需用46秒。如果这列火车与另一列长96米，每秒行24米的火车交叉而过，问需多少秒？2．龟兔赛跑，全程共2000米。已知龟每分钟爬4米，兔子每分钟跑35米。兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果乌龟到终点时，兔子离终点还有250米，你知道兔子这一觉睡了多长时间吗？3．A、B两地相距900米，兄、弟二人同时从A地向B地方向行走，弟弟的速度80米／分钟，哥哥的速度是100米／分钟，当哥哥到达B地后，立即原路返回，与弟弟相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？4．A、B两地相距2100千米，甲、乙两列火车从A、B两地同时相向而行，甲车的速度是65千米／小时，乙列火车的速度是48千米／小时，乙列火车出发时，从车厢里飞出一只鸽子，以75千米／小时的速度向甲车飞去，在鸽子与甲车相遇时，乙车距离A地还有多远？5．小宝从甲地步行到乙地，每小时走6千米；小贝从乙地步行到甲地，每小时比小宝少走2千米。小贝出发3小时后，小宝才出发，经过2小时两人相遇。甲、乙两地相距多少千米？6．一列货车与一列客车同时从北京站出发反向而行，货车每小时比客车多走7千米，4小时后两车相距468千米。求两车速度。7．两列火车分别从A、B两站相向而来。快车车身长132米，车速为每秒钟27米；慢车车身长118米，车速为23米／秒。两车从车头相遇到车尾分开，共需要多长时间？8．两个工人合作加工一批零件，两人同时开工，经过21天后全部完工。已知甲每天加工53个零件，乙每天比甲多加工7个，但乙每工作七天就要休息一天。你知道这批零件有多少个吗？9．甲、乙沿同一条路相向而行，甲的速度是乙速的1．5倍。已知甲在上午7：20经过邮局门口，乙上午9：50经过邮局门口。问：甲、乙几点钟在中途相遇？10．甲、乙两人沿环形跑道相对运动，从相距200米的两点出发，如果沿小弧运动，甲与乙在10秒后相遇；如果沿大弧运动，经过15秒后相遇。当甲跑完环形跑道一圈时，乙只跑了125米，求环形跑道的周长及甲、乙两人的速度。参考答案发散思维训练1．解：若知道这列火车的车长与速度，就可以利用两列火车相遇的问题来求解。以通过两桥的长度差和通过两桥的时间差，来求出这列火车每秒行驶的米数，即速度。两座铁桥的长度差：108-84=24（米）通过两座铁桥的时间差：52-46＝6（秒）火车速度为：24÷6=4（米／秒）火车行驶46秒的路程：4×46=184（米）火车车身长为：184-84＝100（米）此列车身长为100米、速度为4米／秒的列车与另一列车身长为96米、速度为24米／秒的列车交叉而过所需时间：（100+96）÷（24+4）=196÷28=7（秒）答：两车交叉而过，需要7秒钟。2．解：乌龟跑完全程所需时间：2000÷4＝500（分钟）兔子跑的路程：2000-250=1750（米）兔子跑的时间：1750÷350=50（分钟）兔子睡觉的时间：500-50＝450（分钟）答：兔子一觉睡了450分钟。3．解：哥哥从A地到B地所用时间：900÷100=9（分钟）此时弟弟走了：80×9＝720（米）距离B地900－720=180（米），此时弟弟在距B地180米处，哥哥在B处，两个人相遇在这中间的某处。相遇时间=180÷（80+100）＝l（分钟），l+9=10（分钟）。答：从出发到相遇共经过10分钟。4．解：甲车与鸽子的速度和：75+65＝140（千米/小时）相遇时间：2100÷140=15（小时）此时乙车行驶路程：15×48=720（千米）距离A地：2100－720=1380（千米）答：到鸽子与甲车相遇时，乙车距离A地还有1380千米。5．解：小贝的速度：6-2=4（千米/小时）从出发到相遇：小贝走了3+2=5（小时）小宝走了2小时。甲乙两地相距：4×5+6×2=32（千米）答：甲乙两地相距32千米。6．解：两车的速度和：468÷4=117（千米/小时）客车车速的2倍：117-7=110（千米/小时）客车车速：110÷2=55（千米/小时）货车车速：55+7=62（千米／小时）答：客车、货车的速度分别为55千米/小时、62千米／小时。7．解：两火车相遇的过程中，两车所行的相通路程恰好为两列火车车身长度的和；速度为两列火车的速度和。则相遇时间：（132+118）÷（27+23）=5（秒）答：两车从车头相遇到车尾分开共需要5秒钟。8．解：由题意知在整个工作期间干满21天，而乙每7天休息一天，那么21天中乙休息了2天，干了21-2=19（天）。乙每天干：53+7=60（个）零件总数：53×21+60×19＝2253（个）答：这批零件共有2253个。9．解：甲在7：20到邮局，乙在9：50到