高等数学中求极限的方法小结

宁波大红鹰学院学生数学课程论文16高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设~、~且limlim；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：0()．常用等价无穷小：当变量0x时，21sin~,tan~,arcsin~,arctan~,1~,ln(1)~,1cos~,2xxxxxxxxxexxxxx11~,(1)1~xxxxx．例1求01coslimarctanxxxx．解210,1cos~,arctan~2xxxxx时，故，原式220112lim2xxx例2求1230(1)1limcos1xxx．解12223110,(1)1~,1cos~32xxxxx时,因此:原式202123lim132xxx．宁波大红鹰学院学生数学课程论文17例3求30131limtanxx．解0,x时3111~,tan~3xxxx，故:原式=0113lim3xxx．例4求201lim2ln(1)xxexx．解0,1~,ln(1)~xxexxx时,故:原式2201lim22xxx．例5试确定常数a与n，使得当0x时，nax与33ln(1)xx为等价无穷小．解330ln(1)lim1nxxxax而左边225311003331limlimnnxxxxxxnaxnax，故15n即6n0331lim11662xaaa．2.2利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当xa时，函数()fx及()Fx都趋于0；在点a的某去心邻域内，()fx﹑()Fx的导数都存在且()Fx的导数不等于0；()lim()xafxFx存在，那么()()limlim()()xaxafxfxFxFx.[1]宁波大红鹰学院学生数学课程论文18求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例6求22201coslim()sinxxxx.分析秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000（此为强行代入以定型）.00可能是比00高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)[phone]或43(00)[phone].解2222222240001cossincos(sincos)(sincos)lim()limlimsinsinxxxxxxxxxxxxxxxxxx33000sincossincossincoslimlim2limxxxxxxxxxxxxxxx，由洛必达法则的22222001cossin4sin42,2limlim333xxxxxxx有：上式=.例7求201limxxexx.解22000(1)1limlim1lim1()21xxxxxxeeexxxxx.例8求332132lim1xxxxxx.解原式22113363limlim321622xxxxxxx.（二次使用洛必达法则）.例9求02limsinxxxeexxx.宁波大红鹰学院学生数学课程论文19解原式0002limlimlim21cossincosxxxxxxxxxeeeeeexxx.例10求22143lim21xxxxx.解原式1112422limlimlim02211xxxxxxxxx原式=.例11求0tanlimsinarcsinxxxxxx.解原式222222220000111(1cos)tan1cos1cos2limlimlimlim33cos3cos3xxxxxxxxxxxxxxxxx.例12求0cotlimlnxxx.解原式22200sincos1limlimsin2sincosxxxxxxxx.例13求22201coslim()sinxxxx.解原式22222400sincos(sincos)(sincos)limlimsinxxxxxxxxxxxxxx223320000sincossincossincos1cossin4limlim2lim2lim33xxxxxxxxxxxxxxxxxxx“0”型：例14求lim(arctan)2xxx.解原式2221arctan112limlimlim11111xxxxxxxx.“”型：例15求2limsectanxxx.宁波大红鹰学院学生数学课程论文20解1sin1sinsectancoscoscosxxxxxxx，故原式221sincoslimlim0cossinxxxxxx.“00”型：例16求0limxxx.解原式ln0limlnln00limlim1xxxxexxxxxeee.“1”型：例17求lim1xxex.解原式lim1xeeexeex.“0”型：例18求tan01lim()xxx.解原式tanlntan01limln()tanln00limlimxxxxexxxxxeee，而tan~00lim(tanln)lim(ln)0xxxxxxxx，因此：原式=1.2.3泰勒公式（含有e的x次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()fx在含有n的某个开区间(,)ab内具有直到(1)n阶的导数，则对任一(,)xab，有()fx0()fx+0()fx(x-0x)+0()2!fx(x-0x)2+……+()0()!nfxn(x-0x)n+nR(x)其中(1)10()1!nnnfRxxxn，这里是x与0x之间的某个值.[1]宁波大红鹰学院学生数学课程论文21例19利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限30sincoslimsinxxxxx.解由于公式的分母33sin~(0)xxx，我们只需将分子中的3333sin0(),cos0()3!2!xxxxxxxxx代入计算，于是3333331sincos0()0()0()3!2!3xxxxxxxxxxx，对上式做运算时，把两个3x高阶的无穷小的代数和还是记作30()x.例20323322314334limlim3211211xxxxxxxxxxxx，2222111limlim121(1)1xxnnnnn，121(2)313limlim(2)332233nnnnnnxx.2.4无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21求sinlimxxxx.解原式sin1lim(1)lim(1sin)1xxxxxx.2.5夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]宁波大红鹰学院学生数学课程论文22例22求2sinsinsinlim...1112nnnnnnn.解111sinsinsin11nnniiiiiinnnnnoni，1011sin12limlimsinnnnniiiinnxdxnonn，1011sin112limlim1sin11nnnniiiinxdxnnnn，根据夹逼定理1sin2lim1nxiinni.2.6等比等差数列公式（的绝对值要小于1）[1]例23设1||，证等比数列1，，21n，…的极限为0.证任取01，为使nxa，而nnxa，使n，即lnlnln,lnnn，当lnlnN，当nN时，即lnln11lnlnnN，lnlnnn即nxa，由定义知lim10n22......lim...11nnn.因此,很显然有:宁波大红鹰学院学生数学课程论文230.99...lim0.99...1nn.2.7各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24求111lim1...2*33*41nnn.解原式111111lim1...23341nnn11lim121nn31lim21nn=32.2.8求左右极限的方式例25求函数0,10,00,1)(xxxxxxf，求0x时，fx的极限.解00limlim11xxfxx，00limlim11xxfxx，因为00limlimxxfxfx，所以，当0x时，)(xf的极限不存在.例260lim0xxxx.解0)(lim)(lim00xxxxxx，0limlim00xxxxxx，因为0lim)(lim00xxxxxxxx，所以,原式=0.2.9应用两个重要极限宁波大红鹰学院学生数学课程论文241sinlim0xxx，1lim1xxex例27求xexx1lim0.解记ln1xt1xet，则原式=1001limlim111ln1tttttt1lim1xxxe因为.例28求1lim11nnn.解原式=111lim11nnn=e.例29求1lim1-1nnn.解原式=111lim1-1nnn=e.2.10根据增长速度)(lnxexxxn例30求lim0nxxxne为正整数，.解原式=1limnxxnxe=221!limlim0nxnxxxnnxnee.例31求lnlim0nxxnx.解01limlimlnlim11nxnxxnxnxnxxx.同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x的x次方快于!x（x的阶乘）快于指数函数，宁波大红鹰