函数及其图形解读

第一章函数函数及其图形概念、图形、表示法、特殊函数、特性；函数运算及其特性四则运算、复合运算、反函数、初等函数、单调性、有界性等.§1.1函数概念一、函数的概念例如圆的半径为r，圆的面积为S，则2rS即Srr2）（或：的一个函数，记为到数集为则称对应法则，中能唯一确定一个元素在按此法则，使得，如果存在一个对应法则，与设有非空数集xfyyxfBAfyBfAxfBA定义，或为定义域，记为称为因变量，称为自变量，fDfDAyx)(在定义域中变化时，点处的函数值。当为在为函数符号，xxxff)(，即或的值域，记为数的全体值的集合称为函fRfRfxf)()(BfDxxffR})(|)({)(.•函数有两大要素：定义域、对应法则。，，例如1)()(xgxxxf是两个不同的函数。与由于定义域不同，)()(xgxf•自然定义域有意义的一切实数值。自变量所能取的使算式。定义域为：例如),1()1,(11)(2xxf二、函数的图形。对应的函数值为与，。，设函数)()(xfyxDxDxxfy。平面上确定一点为纵坐标，则在为横坐标，如果以),(yxxoyyx的集合到点内的所有数值时，就得取遍当),(yxDx}),(|),{(DxxfyyxG。的图形称为点集)(xfyG数图形的草图。可以利用描点法做出函xyOy),(yxx二、函数的图形。对应的函数值为与，。，设函数)()(xfyxDxDxxfy。平面上确定一点为纵坐标，则在为横坐标，如果以),(yxxoyyx的集合到点内的所有数值时，就得取遍当),(yxDx}),(|),{(DxxfyyxG。的图形称为点集)(xfyG。数图形的草图可以利用描点法做出函xyOxy),(yx二、函数的图形。对应的函数值为与，。，设函数)()(xfyxDxDxxfy。平面上确定一点为纵坐标，则在为横坐标，如果以),(yxxoyyx的集合到点内的所有数值时，就得取遍当),(yxDx}),(|),{(DxxfyyxG。的图形称为点集)(xfyG。数图形的草图可以利用描点法做出函xyOxy),(yx二、函数的图形。对应的函数值为与，。，设函数)()(xfyxDxDxxfy。平面上确定一点为纵坐标，则在为横坐标，如果以),(yxxoyyx的集合到点内的所有数值时，就得取遍当),(yxDx}),(|),{(DxxfyyxG。的图形称为点集)(xfyG。数图形的草图可以利用描点法做出函xyOxy),(yx二、函数的图形。对应的函数值为与，。，设函数)()(xfyxDxDxxfy。平面上确定一点为纵坐标，则在为横坐标，如果以),(yxxoyyx的集合到点内的所有数值时，就得取遍当),(yxDx}),(|),{(DxxfyyxG。的图形称为点集)(xfyG。数图形的草图可以利用描点法做出函xyOxy),(yx二、函数的图形。对应的函数值为与，。，设函数)()(xfyxDxDxxfy。平面上确定一点为纵坐标，则在为横坐标，如果以),(yxxoyyx的集合到点内的所有数值时，就得取遍当),(yxDx}),(|),{(DxxfyyxG。的图形称为点集)(xfyG。数图形的草图可以利用描点法做出函xyOxy),(yx二、函数的图形。对应的函数值为与，。，设函数)()(xfyxDxDxxfy。平面上确定一点为纵坐标，则在为横坐标，如果以),(yxxoyyx的集合到点内的所有数值时，就得取遍当),(yxDx}),(|),{(DxxfyyxG。的图形称为点集)(xfyG数图形的草图。可以利用描点法做出函xyOxy),(yxDfR三、函数的表示法（解析式）公式表示法.1例如。式来定义的函数也就是利用数学的表达12sin)(2xxf（列表法）表格表示法.2可以用表格来表示：数，出租车车费是距离的函例如16141210]7,6(]5,4(]4,3(]3,0[（元）车费（公里）距离图形表示法.3xey四、几种特殊函数来表示不能用一个数学表达式分段函数.1例1绝对值函数00||xxxxxyxyO11例2符号函数010001)sgn(xxxxy当当当xyO11。有，||)sgn(xxxRx例3取整函数。，，,2,1,0)1,[][nnnxnxy....xyO12.34123例2与例3中的函数也称为阶梯函数.例4狄利克莱函数（Dirichlet）QxQxxD01)(注意：分段函数是一个函数。五、函数的几种特性1.有界性，对应的内任一，使对于上有定义，若存在正数在设xXMXxf)(，都有函数值)(xfMxf|)(|。为有界函数或上有界，在成立，则称函数)()(xfXxf。有，，简略地说：MxfXxM|)(|0。之间直线函数图像位于两条平行MyxyMM，有上界则称，，，，如果MxfMxfNXxMN)()(。有下界N图形特征：。上无界在，则称，有，XxfMxfXxM)(|)(|000例5讨论下列函数在定义域上的有界性；)1,0(1)()1(xxxf。xxf1cos)()2(解(1)，0M，取)1,0(110Mx则有，MMMxf1|1||)(|0。无界因此，)(xf。）上有界（在10)1,(1)(aaxxf但是为什么？(2)，都有，显然11cos|)(|xxfRx的界。的任何实数都是有界。事实上，大于因此，)(1)(xfxf上无界：在Xxf)(2.单调性时，有）（当，，上有定义，在设2121)(xxXxxXxf；上（严格）单调递增在，则称Xxfxfxf)()()(21。（严格）单调递减，则称，有若对)()()(2121xfxfxfxx图形特征xy01x2x)(1xf)(2xf1x2x)(1xf)(2xf0xy3.奇偶性上有定义在对称区间设),()(llxf内偶函数。为，则称，成立若),()()()(),()1(llxfxfxfllx内奇函数。为，则称，成立若),()()()(),()2(llxfxfxfllxxy0xxfsin)(xy02)(xxf关于原点对称关于y轴对称4.周期性)()(xfTxfXTxXxT，且成立，有，若存在非零实数称为周期。上的周期函数，为则称TXxf)(，是周期函数例如xxfcos)(，，，周期为642通常我们所指的周期为最小正周期。正周期。。无最小正周期例如1)(xf但并非所有函数都有最小§1.2初等函数一、四则运算)()(xgyxfy与设有两个函数：)()()()(gDfDxxgxf和函数)()()()(gDfDxxgxf差函数)()()()(gDfDxxgxf积函数0)()()(|)()(xggDfDxxxxgxf，商函数二、复合运算43)(2uuufy设函数4)(3)()(2f)(xg)(xg?)]([)()(xgfxgyxfy考虑，，设)(xg)(xgf.)()(xguufy，设函数yuxfgxg)(xgf))((xgf将这一过程形象化称为函数合过程，新得到的函数上述过程就是函数的复))((xgf。的复合函数与)()(xgxf，即记为gf))(())((xgfxgfy。称为中间变量其中u注意作为因变量的值域作为自变量的定义域与）中间变量（uu1。义必须相交，否则没有意。无意义例如)2arcsin(2xy。）一般来说（fggf2推广)()()()(xgvvuuwwfy，，，设))))(((())((xgfxgfy则有•。的定义域，求的定义域为设例)1()2(]1,1[)(6xfxfxf。求，，设例gfxgxxxxfx2log)(1||11||01||1)(7解，121x；即21,21x111x又；即]0,2[x定义域为]0,2[21,21．即0,21解)(xgf1log2x,11log2x,01log2x,12102xx或,1212xx或,0221x,1•。求，设例)()0()11(182xfxxxxf简单的函数的复合将下列函数分解为几个例9。）（；）（xyxy422tan11arcsin2)]4[ln(cos1解，令xu1则)(uf21111uu)111(12uuu解)1(，2uy，vucos，wvln．42xw)2(，uyarcsin，vu1，wv，41zw．xztan三、反函数，对于函数)(xfy（唯一确定）有时yxyxx21但也有定义，有，若上有定义，在设2121,)(xxXxxXxfy的一个双射或到值域是，则称)()()(21fRXfxfxf一一对应。图形特征3xy2xy水平线检测法，例如3xy。例如2xy定理一切单调函数都是定义域到值域的双射。定义，能唯一确定。，值域为的定义域为设函数WyWDxfy)(作为因变量，则作为自变量，，若把，使一个xyyxfDx)(的反函数，之为函数得到一个新的函数，称)(xfy，记为1f)(1yfx注意存在反函数。，特别地，单调函数必双射函数必存在反函数1)1(f。，值域为的定义域为)()()2(1fDfRf。的图形是同一条曲线与同一坐标系中，)()()3(1yfxxfy对称。，则图形关于直线改为若将xyxfyyfx)()(11。与反之不成立，例如11xy四、初等函数基本初等函数：，，，xaxyayxylog。三角函数，反三角函数由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除等四则运算以及有限次复合运算所得到的函数称为初等函数。五、双曲函数与反双曲函数2shxxeex双曲正弦xxxxeeeexxxchshth双曲正切这些函数与双曲线的几何关系同三角函数与圆的关系很相似。,122xshxch.22222chxshxxshxchxchxch2chxxeex双曲余弦xyshxychxythxxxxeeeexxxshchcth双曲余切六、符号和概念补遗反双曲函数)1ln(arsh2xxx)1ln(arch2xxxxxx11ln21arth实数与点不区分；.1区别；页上集合记号与中学的注意第4.2).(),000xNxbax的一个邻域，记为称为点，的任一开区间（包含点.).,(}||{),000000称为半径称为邻域的中心，正数并且邻域，记为的为点（特别地，称开区间xxNxxxxxx3.邻域:).,(,}||0{000xNxxxx记作的去心邻域称为点集合