高中数学人教版必修一知识点总结梳理

一集合1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的对象的全体。2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。3、集合的表示：（1）用大写字母表示集合：A,B…（2）集合的表示方法：a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}b、描述法：集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合，32xRxc、维恩图：用一条封闭曲线的内部表示.4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：aA；Aa注意：常用数集及其记法：非负整数集：（即自然数集）N正整数集:N*或N+整数集:Z有理数集:Q实数集:R6、集合间的基本关系（1）“包含”关系—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：BA（或BＡ）注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA（2）“包含”关系—真子集如果集合BA，但存在元素xB且xA，则集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)（3“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”，如果AB同时BA那么A=B规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（4）集合的性质①任何一个集合是它本身的子集，AA②如果AB,BC,那么AC③如果AB且BC，那么AC④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集7、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’）全集：一般，若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，韦恩图示AB图1AB图2性质A∩A=AA∩Φ=ΦA∩B=BAA∩BAA∩BBAUA=AAUΦ=AAUB=BUAAUBＡAUBBAACCUU)(AU(CuA)=UA∩(CuA)=Φ．二函数1.函数的概念：记法y=f(x)，x∈A．2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则3.函数的表示方法：（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法：4.函数的基本性质a、函数解析式子的求法（1）代入法：（2）待定系数法：（3）换元法：（4)拼凑法：b、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数式的真数必须大于零；（4）零次幂式的底数不等于零;（5）分段函数的各段范围取并集;(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.c、相同函数的判断方法；定义域一致②对应法则一致SAd.区间的概念：e.值域（先考虑其定义域）5.分段函数6．映射的概念对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。注意：函数是特殊的映射。7、函数的单调性(局部性质)（1）增减函数定义（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：○1取值；○2作差；○3变形；○4定号；○5结论．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8、函数的奇偶性（整体性质）（1）奇、偶函数定义（2）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；b、确定f(－x)与f(x)的关系；c、作出相应结论：若f(－x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.（4）函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。（5）若已知是奇、偶函数可以直接用特值9、基本初等函数一、一次函数二、二次函数：二次函数的图象与性质，注意：二次函数值域求法三、指数函数（一）指数1、有理指数幂的运算法则2、根式的概念3、分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm（二）指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．2、指数函数的图象和性质a10a1654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域,0值域,0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）四、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．2、对数函数的性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域,0定义域,0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）五、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．10、方程的根与函数的零点（1）函数零点的概念：对于函数xfy，把使0xf成立的实数叫做函数的零点。（2）函数零点个数的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（3）二次函数的零点：判断（4）二分法可用来求变号零点.