2018年初中数学联赛试题及答案

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222aaxxy的图象的顶点为A，与x轴的交点为CB,.当△ABC为等边三角形时，其边长为（）A.6．B.22．C.32．D.23．【答】C.由题设知)2,(2aaA.设)0,(1xB，)0,(2xC，二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为D，则222212212122444)(||aaaxxxxxxBC.又BCAD23，则22223|2|aa，解得62a或02a（舍去）.所以，△ABC的边长3222aBC.2．如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BD于点E，1AB，15CAE，则BE（）A.33．B.22．C.12．D.31．【答】D.延长AE交BC于点F，过点E作BC的垂线，垂足为H.由已知得45HEFAFBFADBAF，1ABBF，30ACBEBH.设xBE，则2xHEHF，23xBH.因为HFBHBF，所以2231xx，解得13x.所以13BE.3．设qp,均为大于3的素数，则使2245qpqp为完全平方数的素数对),(qp的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】B.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第1页（共10页）HFEDBCA设22245mqpqp（m为自然数），则22)2(mpqqp，即pqqpmqpm)2)(2(.由于qp,为素数，且qqpmpqpm2,2，所以21mpq，2mpqpq，从而0142qppq，即9)2)(4(qp，所以(,)(5,11)pq或(7,5).所以，满足条件的素数对),(qp的个数为2.4．若实数ba,满足2ba，4)1()1(22abba，则55ba（）A.46．B.64．C.82．D.128．【答】C.由条件4)1()1(22abba得04223322baabbaba，即0]3))[((]4)[(2)(22abbabaabbaba，又2ba，所以0]34[2]44[22abab，解得1ab.所以222()26ababab，332()[()3]14abababab，82)())((22332255bababababa.5．对任意的整数yx,，定义xyyxyx@，则使得(@)@(@)@xyzyzx(@)@zxy0的整数组),,(zyx的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.zxyyxzxyyxzxyyxzyx)()(@)(@)@(xyzzxyzxyzyx，由对称性，同样可得xyzzxyzxyzyxxzy@)@(，xyzzxyzxyzyxyxz@)@(.所以，由已知可得0xyzzxyzxyzyx，即1)1)(1)(1(zyx.所以，zyx,,为整数时，只能有以下几种情况：,11,11,11zyx或,11,11,11zyx或,11,11,11zyx或,11,11,11zyx所以，)0,2,2(),,(zyx或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第2页（共10页）6．设20501202012019120181M，则M1的整数部分是（）A.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.因为3320181M，所以335613320181M.又)205012032120311()203012019120181(M83230134520205011320301，所以13451185611345832301M，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD中，ABBC2，ABCE于E，F为AD的中点，若48AEF，则B_______．【答】84.设BC的中点为G，连结FG交CE于H，由题设条件知FGCD为菱形.由DCFGAB////及F为AD的中点，知H为CE的中点.又ABCE，所以FGCE，所以FH垂直平分CE，故48AEFEFGGFCDFC.所以84482180FGCB.2．若实数yx,满足2154133)(yxyx，则yx的最大值为．【答】3.由2154133)(yxyx可得22115()()()42xyxxyyxy，即22115()()42xyxxyy.①令kyx，注意到2222131()04244yxxyyxy，故0kyx.又因为22211()344xxyyxyxy，故由①式可得3115342kxykk，所以kkkxy3215413.于是，yx,可看作关于t的一元二次方程032154132kkkktt的两根，所以3211542()403kkkk，化简得0303kk，即0)103)(3(2kkk，所以30k.故yx的最大值为3.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第3页（共10页）HEFDGBCA3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816（个）.4．已知实数cba,,满足0abc，2221abc，则abccba555．【答】52.由已知条件可得21)]()[(212222cbacbacabcab，abccba3333，所以555cba)]()()([))((332332332333222baccabcbacbacba2222223[()()()]abcababacacbcbc)(3222222acbbcacbaabcabcabcabccabcababcabc25213)(3.所以25555abccba.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．满足1)1(22xxx的整数x的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】C.当02x且012xx时，2x.当112xx时，2x或1x.当112xx且2x为偶数时，0x.所以，满足条件的整数x有3个.2．已知123123,,()xxxxxx为关于x的方程323(2)0xxaxa的三个实数根，则22211234xxxx（）A.5．B.6．C.7．D.8．2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第4页（共10页）【答】A.方程即0)2)(1(2axxx，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312xxx，故2221123313113114()()412()41xxxxxxxxxxxx312()15xx.3．已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CECD4，FBCEFB，则ABFtan（）A.21．B.53．C.22．D.23．【答】B.不妨设4CD，则3,1DECE.设xDF，则xAF4，92xEF.作EFBH于点H.因为AFBFBCEFB，BHFBAF90，BF公共，所以△BAF≌△BHF，所以4BABH.由BCEDEFBEFABFABCDSSSSS四边形得14213219421)4(421422xxx，解得58x.所以5124xAF，53tanABAFABF.4．方程339xx的实数根的个数为（）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令9yx，则0y，且29xy，原方程变为2339yy，解得1y或6y，从而可得8x或27x.检验可知：8x是增根，舍去；27x是原方程的实数根.所以，原方程只有1个实数根.5．设cba,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(cba的个数为（）A.4．B.5．C.6．D.7．【答】B.由已知得，20182017bca，20182017acb，20182017abc，两两作差，可得0)20171)((cba，0)20171)((acb，0)20171)((bac.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第5页（共10页）HDACBEF由0)20171)((cba，可得ba或20171c.（1）当cba时，有0201820172aa，解得1a或20172018a.（2）当cba时，解得20171ba，201712018c.（3）当ba时，20171c，此时有：201712018,20171ba，或20171,201712018ba.故这样的三元数组),,(cba共有5个.6．已知实数ba,满足15323aaa，55323bbb，则ba（）A.2．B.3．C.4．D.5．【答】A.有已知条件可得2)1(2)1(3aa，2)1(2)1(3bb，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0aabb，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0abaabb.因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222bbabbaa，所以02ba，因此2ba.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知rqp,,为素数，且pqr整除1rpqrpq，则rqp_______．【答】10.设11111pqqrrpkpqrpqrpqr，由题意知k是正整数，又2,,rqp，所以23k，从而1k，即有pqrrpqrpq1，于是可知rqp,,互不相等.当rqp2时，qrrpqrpqpqr31，所以3q，故2q.于是222qrqrqr1，故3)2)(2(rq，所以32,12rq，即5,3rq，所以，)5,3,2(),,(rqp.再由rqp,,的对称性知，所有可能的数组(,,)pqr共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10rqp.2018年初中数学联赛试题参考答