考研数学定理证明

1.证:[u(x)v(x)]′=lim∆x!0[u(x+∆x)v(x+∆x)][u(x)v(x)]∆x=lim∆x!0u(x+∆x)u(x)∆xlim∆x!0v(x+∆x)v(x)∆x=u′(x)v′(x)2.证:[u(x)v(x)]′=lim∆x!0[u(x+∆x)v(x+∆x)][u(x)v(x)]∆x=lim∆x!0[u(x+∆x)u(x)∆x
v(x+∆x)+u(x)
v(x+∆x)v(x)∆x]=lim∆x!0u(x+∆x)u(x)∆x
v(x+∆x)+u(x)
lim∆x!0v(x+∆x)v(x)∆x=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)3.证:[u(x)v(x)]′=lim∆x!0u(x+∆x)v(x+∆x)u(x)v(x)∆x=lim∆x!0u(x+∆x)v(x)u(x)v(x+∆x)v(x+∆x)v(x)∆x=lim∆x!0[u(x+∆x)u(x)]v(x)u(x)[v(x+∆x)v(x)]v(x+∆x)v(x)∆x=lim∆x!0u(x+∆x)u(x)∆xv(x)u(x)v(x+∆x)v(x)∆xv(x+∆x)v(x)=u′(x)v(x)u(x)v′(x)v2(x)14.费马引理:设函数.(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的x2U(x0).有.(x)6.(x0)(或.(x).(x0))那么.′(x0)=0.证:不妨设x2U(x0)时,.(x)6.(x0)(如果.(x).(x0),可类似证明).于是,对于x0+∆x2U(x0),有.(x0+∆x)6.(x0)从而当∆x0时,.(x0+∆x).(x0)∆x60当∆x0时,.(x0+∆x).(x0)∆x0根据函数.(x)在x0可导的条件及极限的保号性，便得到.′(x0)=.′+(x0)=lim∆x!0+.(x0+∆x).(x0)∆x60.′(x0)=.′(x0)=lim∆x!0.(x0+∆x).(x0)∆x0所以,.′(x0)=0.5.罗尔定理:如果函数.(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即.(a)=.(b),那么在(a,b)内至少有一点¥(a¥b),使得.′(¥)=0证:由于.(x)在闭区间[a,b]上连续,根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理,.(x)在闭区间[a,b]上必定取得它的最大值M和最小值m.这样,只有两种可能情形:(1)M=m.这时.(x)在闭区间[a,b]上必然取相同的数值M:.(x)=M.由此,8x2(a,b),有.′(x)=0.因此,任取¥2(a,b),有.′(¥)=0.(2)Mm.因为.(a)=.(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于.(x)在区间[a,b]的端点处的函数值.为确定起见,不妨设M̸=.(a),那么必定在开区间(a,b)内有一点¥使.(¥)=M.因此,8x2[a,b],有.(x)6.(¥),从而由费马引理可知.′(¥)=0.26.拉格朗日中值定理:如果函数.(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)可导,那么在(a,b)内至少有一点¥(a¥b),使等式.(b).(a)=.′(¥)(ba)成立证:引进辅助函数φ(x)=.(x).(a).(b).(a)ba(xa)则φ(a)=φ(b)=0,φ(x)在闭区间在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)可导,根据罗尔定理，可知在(a,b)内至少有一点¥使φ′(x)=0,即φ′(¥)=.′(¥).(b).(a)ba=0或引进辅助函数F(x)=.(x).(b).(a)bax∵F(a)=F(b)=b.(a)a.(b)ba)F′(¥)=.′(¥).(b).(a)ba=0(a¥b)37.柯西中值定理:如果函数.(x)、F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)可导;(3)对任一x2(a,b),F′(x)̸=0那么在(a,b)内只要有一点¥,使等式.(b).(a)F(b)F(a)=.′(¥)F′(¥)成立.证:首先注意到F(b)F(a)̸=0,这是由于F(b)F(a)=F′(¤)(ba)其中a¤b,根据假定F′(¤)̸=0,又ba̸=0,所以F(b)F(a)̸=0设辅助函数φ(x)=.(x).(b).(a)F(b)F(a)F(x)显然,φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)可导,且φ(a)=φ(b)=F(b).(a)F(a).(b)F(b)F(a)故φ(x)适合罗尔定理的条件，因此在(ba)内至少有一点¥,使φ′(¥)=.′(¥).(b).(a)F(b)F(a)F(¥)=0由此得.(b).(a)F(b)F(a)=.′(¥)F′(¥)48.定积分中值定理:如果函数.(x)在积分区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一个点¥,使下式成立:ba.(x)dx=.(¥)(ba)(a6¥6b)证:设M及m分别是函数.(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则m(ba)6ba.(x)dx6M(ba)(ab)将上式各除以ba,得m61baba.(x)dx6M这表明,确定的数值1baba.(x)dx介于函数.(x)的最小值m及最大值M之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,在[a,b]上至少存在一点¥,使得函数.(x)在点¥处的值与这个确定的数值相等,即应1baba.(x)dx=.(¥)(a6¥6b)即ba.(x)dx=.(¥)(ba)(a6¥6b)9.微积分基本定理:如果函数F(x)是连续函数.(x)在区间[a,b]上的一个原函数,那么ba.(x)dx=F(b)F(a)证:已知函数F(x)是连续函数.(x)的一个原函数,则积分上限函数H(x)=xa.(t)dt也是.(x)的一个原函数.于是这两个原函数之差F(x)H(x)在[a,b]上必定是某一个常数C,即F(x)H(x)=C(a6x6b)在上式中令x=a,得F(a)H(a)=C,可知H(a)=0,因此,F(a)=C,以F(a)代入上式C,以xa.(t)dt代入上式中的H(x),可得xa.(t)dt=F(x)F(a)在上式中令x=b得证.510.柯西-施瓦兹不等式:设.(x),1(x)在[a,b]上连续,则:[ba.(x)1(x)dx]26ba.2(x)dx
ba12(x)dx证:令:F(x)=[xa.(t)1(t)dt]2xa.2(t)dt
xa12(t)dt则F(a)=0.当a6x6b时,F′(x)=2xa.(t)1(t)dt
.(x)1(x).2(x)
xa12(t)dt12(x)
xa.2(t)dt=xa{[.(x)1(t)]22.(t)1(t).(x)1(x)+[.(t)1(x)]2}dt=xa[.(x)1(t).(t)1(x)]2dt60故F(x)单调减少.于是当a6x6b时,F(x)60,则F(b)60.即:[ba.(x)1(x)dx]26ba.2(x)dx
ba12(x)dx611.范德蒙行列式Dn(x1,x2,


,xn)=RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR111


1x1x2x3


xnx21x22x23


x2n............xn11xn12xn13


xn1nRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR=∏16ji6n(xixj)(n2)证:用第一数学归纳法.当n=2时,有D2=RRRRRRRRRR11x1x2RRRRRRRRRR=x2x1结论成立.设对n1阶范德蒙行列式命题成立,则对于Dn,依次将第n1行乘x1加到第n行,将n2行乘x1加到第n1行,


,将第1行乘x1加到第2行,得:Dn=RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR111


10x2x1x3x1


xnx10x2(x2x1)x3(x3x1)


xn(xnx1)............0xn22(x2x1)xn23(x3x1)


xn2n(xnx1)RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR按列提出公因式(xi1),得:Dn(x1,x2,


,xn)=n∏i=2(xix1)RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR111


1x1x2x3


xnx21x22x23


x2n............xn21xn22xn23


xn2nRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR=n∏i=2(xix1)
∏26ji6n(xixj)=∏16ji6n(xixj)712.卷积公式:设二维连续型随机变量(X,Y).(x,y).Z=X+Y是连续型随机变量,且Z.(6)=+11.(x,6x)dx=+11.(6y,y)dy特别地,如果X,Y独立,则Z.(6)=+11.X(x).Y(6x)dx=+11.X(6y).Y(y)dy其中,.X(x),.Y(y)分别为X,Y的边缘概率密度.证:F(6)=P{Z66}=P{X+Y66}=x+y66.(x,y)dxdy=+11[6x1.(x,y)dy]dxu=x+y======+11[61.(x,ux)du]dx=61[+11.(x,ux)dx]du故.(6)=F′(6)=+11.(x,6x)dx当X,Y独立时,.(6)=F′(6)=+11.X(x).Y(6x)dx同理可得.(6)=+11.(6y,y)dy,当X,Y独立时,.(6)=+11.X(6y).Y(y)dy8