北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)

北师大版九年级（上）数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义（含答案）1/8一元二次方程讲义1.掌握一元二次方程的概念；2.掌握一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）.1.一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：_________。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)xabb的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得xab或者xab，xab。注意：若b0，方程无解（2）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)xmnn的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。注意：当0n时，方程无解（3）公式法：一元二次方程20(0)axbxca根的判别式：_________________0方程有两个不相等的实根:242bbacxa（240bac）()fx的图像与x轴有两个交点0方程_____________实根()fx的图像与x轴有一个交点0方程无实根()fx的图像与x轴没有交点北师大版九年级（上）数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义（含答案）2/8（4）因式分解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0axmxn，则有=xm或xn。步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。①提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式②公式法：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.（2）此法可拓展应用于求解高次方程。参考答案：1.（2）20(0)axbxca2.(3)24bac,有两个相等的1.一元二次方程的定义【例1】下列方程中是一元二次方程的序号是．42x①522yx②③01332xx052x④5232xx⑤412xx⑥【解析】根据一元二次方程的定义判定即可，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。【答案】①③④⑤练习1.已知，关于x的方程12)5(2axxa是一元二次方程，则a【答案】≠-5练习2.当k时，方程05)3()4(22xkxk不是关于x的一元二次方程．【答案】±22.一元二次方程根的情况【例2】若关于x的方程052kxx有实数根，则k的取值范围是．【解析】根据一元二次方程的△的正负，来判断方程的根的情况，有实数根是△≥0，代入a，b，c计算即可。【答案】k≤425练习3.已知：当m时，方程0)2()12(22mxmx有实数根．北师大版九年级（上）数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义（含答案）3/8【答案】≥0.75练习4.关于x的方程0)4(2)1(222kkxxk的根的情况是___________．【答案】没有实数解【例3】不解方程，判别方程的根的情况：04x3x22【解析】要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac4b2的值的符号就可以了．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c的符号．【答案】解：∵a＝2，b＝3，c＝－4，∴041)4(243ac4b22．∴方程有两个不相等的实数根．练习5.y249y162【答案】∵a＝16，b＝－24，c＝9，∴09164)24(ac4b22．∴方程有两个相等的实数解．练习6.0x7)1x(52【答案】将方程化为一般形式0x75x52，05x7x52．∵a＝4，b＝－7，c＝5，∴554)7(ac4b22＝49－100＝－510．∴方程无实数解．3.一元二次方程的解法【例4】解方程2)3x(2．【解析】如果把x＋3看作一个字母y，就变成解方程2y2了．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若ax2，则ax；若b)ax(2，则abx．【答案】解：2)3x(2，23x，23x23x，或，∴23x23x21，．练习7.解方程025x2．北师大版九年级（上）数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义（含答案）4/8【解析】解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．【答案】解：025x2，25x2，25x，x＝±5．∴5x5x21，．练习8.解方程081)2x(42．【解析】解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．【答案】解：081)2x(42整理，81)2x(42，481)2x(2，292x，∴25x213x21，．【例5】用配方法解方程x73x22．【解析】解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．【答案】解：x73x22，023x27x2，0234747x27x22，162547x2，∴4547x．∴21x3x21，．练习9．x2＋8x－2＝0【答案】12324,324xx练习10.2x2-x=6【答案】123,22xx【例6】解方程02x3x2．北师大版九年级（上）数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义（含答案）5/8【解析】此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值，先计算“△”的值，若△0，则方程无解，就不必解了．【答案】解法一：02x3x2，(x－2)(x－1)＝0，x－2＝0，x－1＝0，∴2x1x21，．解法二：∵a＝1，b＝－3，c＝2，∴01214)3(ac4b22，∴213x．∴1x2x21，．练习11．(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)【答案】原方程可变形为（x-2）（3x-1-4x-1）=0，即（x-2）（-x-2）=0.x-2=0或-x-2=0.∴x1=2，x2=-2.练习12．4x2-20x+25=7【答案】原方程可变形为2x2-10x+9=0，∵a=2,b=-10，c=9，b2-4ac=（-10）2-4×2×9=28＞0，∴x=222810=47210∴x1=275，x2=275.【例7】解关于x的方程0n)nm2x3(mx22．【解析】先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x的方程，即x为未知数，m，n为已知数．在确定0ac4b2的情况下，利用公式法求解．【答案】解：把原方程左边展开，整理，得0)nmnm2(mx3x222．∵a＝1，b＝－3m，22nmnm2c，∴)nmnm2(14)m3(ac4b222222n4mn4m0)n2m(2．∴2)n2m(m3x22)n2m(m3．∴nmxnm2x21，．练习13.x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).【答案】242ppqx北师大版九年级（上）数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义（含答案）6/81.下列方程中,常数项为零的是()【答案】DA.x2+x=1B.2x2-x-12=12C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+22.下列方程:①x2=0,②21x-2=0,③22x+3x=(1+2x)(2+x),④32x-x=0,⑤32xx-8x+1=0中,一元二次方程的个数是()【答案】AA.1个B.2个C.3个D.4个3.把方程（x-5）(x+5）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是()【答案】AA.5x2-4x-4=0B.x2-5=0C.5x2-2x+1=0D.5x2-4x+6=04.方程x2=6x的根是()【答案】BA.x1=0,x2=-6B.x1=0,x2=6C.x=6D.x=05.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是()【答案】CA.23162xB.2312416xC.231416xD.以上都不对6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是()【答案】DA.11B.15C.-15D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是()【答案】BA.-x2=2x-1B.4x2+4x+54=0C.2230xxD.(x+2)(x-3)==-58.方程2(1)5322xx化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.【答案】x2+4x-4=0,49.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解的条件是__________.【答案】240bc10.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.【答案】因式分解法11.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.【答案】1或2312.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是__________.【答案】213.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.【答案】1814.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0有两个不相等实数根,则k的取值范围是_______.【答案】115k且k15.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x;(2)3y2+1=23y;(3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)【答案】（1）3，25；（2）33；（3）1，2a-116.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数,而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?【答案】m=-6,n=8北师大版九年级（上）数学第二章一元二次方程教案：一元二次方程概念及其解法讲义（含答案）7/817.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.【答案】Δ=2k2+80,∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()【答案】BA.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2332057xx2下列方程中,常数项为零的是()【答案】DA.x2+x=1B.2x2-x-12=12C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+23.一元二次方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是()【答案】CA.23162xB.2312416xC.231416xD.以上都不对4.关于x的一元二次方程22110axxa