数学八年级-轴对称;最短路径问题

WORD格式.分享精品.资料三角形第3节多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这个问题提炼出数学问题为：设C为直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l交于点C.则点C即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由WORD格式.分享精品.资料轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短.预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有222ABBCAC【诊断自测】1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A．B．C．D．2、如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（）A．“两点之间，线段最短”WORD格式.分享精品.资料B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20cm，求△PEF的周长；（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.WORD格式.分享精品.资料答案：见解析解析：（1）∵M与P关于OA对称∴OA垂直平分MP.∴EM=EP.又∵N与P关于OB对称∴OB垂直平分PN.∴FP=FN.∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，∵OA垂直平分MP，∴OM=OP.又∵OB垂直平分PN，∴ON=OP.∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.∴∠MON=2∠AOB=70°∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．2B．C．20D．2答案：AWORD格式.分享精品.资料解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==2．故选：A．例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，WORD格式.分享精品.资料∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．2C．4D．4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．WORD格式.分享精品.资料例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。解析：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥．证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短．距离为+5×2=110米．WORD格式.分享精品.资料【易错精选】1．如图，已知锐角△ABC的面积为6，AC=4，∠BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和BC上的动点，求BM+MN的最小值及画出图形．2、作图：（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；（2）在直线l上求作一点P，使PA﹣PB最大．【精华提炼】下列给出常考解题作图方法：①()PAPB最大值对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况②()PAPB最大值最大值PBAWORD格式.分享精品.资料③PAPB最大值取线段的中垂线与对称轴的交点，即为最小的情况，最小值为0④PAPB最大值线段连线的延长线与对称轴的交点，即为最大的情况，最大值为AB⑤PAB△的周长最小值若一个动点，则对称一次若两个动点，则对称两次A'ABP最小值ABP最小值最大值PBA一个动点，最小值PBAA'WORD格式.分享精品.资料⑥四边形ABCD的周长最小值情况一、两固定点两动点，对称两次，转化为两点之间线段最短情况二、两固定点，定长度动线段，利用平移，转化为两点之间线段最短BAP''P'P两个动点，最小值四边形周长最小值B'A'DCBA四边形周长最小值A''A'ABDC四边形周长最小A''A'DCBAWORD格式.分享精品.资料⑦修桥问题：两条动线段加平行线距离之和最短问题，利用平移，转化为两点之间线段最短⑧多条折线之和最短：将其中的两个点对称过去，把折线转化成两点之间线段最短问题ABMNA'l1l2AM+MN+NB线段之和最短AM+MN+NB线段之和最短l2l1A'NMBAABCDA'D'AB+BC+CD最短ABCDA'D'AB+BC+CD最短WORD格式.分享精品.资料⑨ABBC之和最短【本节训练】训练【1】如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+训练【2】如图，∠MBN=60°，在∠MBN的内部有一点C，且BC=10，点D、E分别在BM、BN上，则△CDE周长的最小值为．ABCDA'D'AB+BC+CD最短AB+BC+CD最短D'A'DCBAAB+BC最短CA'BAABCAB+BC最短WORD格式.分享精品.资料训练【3】如图，∠AOB=α，P在∠AOB内，OP=2，M和N分别为OA，OB上一动点，当△PMN的周长为最小值2时，α=．训练【4】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是．基础巩固1、（1）如图1，在l上找一点P，使PA+PB最小．（2）如图2，在l上找一点P，使PA+PB最小．（3）如图3，在l上找一点Q，使AQ﹣BQ最大．（4）如图4，在l上找一点Q，使AQ﹣BQ最大．（尺规作图，保留作图痕迹，并简要说明理由以及得到的结论）2、如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车从原点O出发，在x轴和y轴上行驶．汽车在y轴上行驶到离A村最近的位置的坐标是；在x轴上行驶到离B村最近时的位置的坐标是．WORD格式.分享精品.资料3、如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家．l1是草地的边沿，l2是一条笔直的河流．每天，牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处．请在图上画出牧民行走的最短路线（保留作图痕迹）．4、如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．巅峰突破1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A．2B．8C．2D．10WORD格式.分享精品.资料2、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（4，0）C．（2，0）D．（0，0）3、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是（）A．15kmB．16kmC．17kmD．18km4、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，AC=1，PD=2，直接写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求的最小值．WORD格式.分享精品.资料参考答案【诊断自测】1、答案：作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M．解：根据最短路线问题，B选项图形方案符合．故选B．2、解：∵四边形OABC为正方形，∴A、C两点关于直线OB对称（轴对称的性质），∴连接CD，则CD即为PD+P