中考数学二次函数动点问题

中考数学二次函数动点问题1/21模式1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p使得PCBA、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB是对角线时，那么有BCAP//（2）当边AC是对角线时，那么有CPAB//（3）当边BC是对角线时，那么有BPAC//例题1：（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.练习：如图1，抛物线322xxy与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．中考数学二次函数动点问题2/21（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．模式2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p使得PCBA、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1）当边AB是底时，那么有PCAB//（2）当边AC是底时，那么有BPAC//（3）当边BC是底时，那么有APBC//例题2：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为)20(，，直线xy32与边BC相交于点D．(1)求点D的坐标；中考数学二次函数动点问题3/21(2)抛物线cbxaxy2经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．中考数学二次函数动点问题4/21模式3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得PBA、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况（1）当A为直角时，ABAC（2）当B为直角时，BABC（3）当C为直角时，CBCA例题3：如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQAB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．中考数学二次函数动点问题5/21练习：如图1，直线434xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．中考数学二次函数动点问题6/21模式4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得PBA、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当A为顶角时，ABAC（2）当B为顶角时，BABC（3）当C为顶角时，CBCA例题4：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为56，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．中考数学二次函数动点问题7/21ABCOPQDyx练习：（2012江汉市中考模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．(1)求该抛物线的解析式．(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．模式5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角例题5：（据荆州资料第58页第2题改编）在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=450，AD=2，BC=6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式。（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径。（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长。（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。中考数学二次函数动点问题8/21xyDBCAO模拟题汇编之动点折叠问题1.（2012深圳模拟）（本题12分）已知二次函数cbxxy2与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.中考数学二次函数动点问题9/21解：将B、C两点的坐标代y=kx+b,0=3k-3,k=1,∴y=x-3…………1分将B、C两点的坐标代入得：303ccb，解得：32cb所以二次函数的表达式为：322xxy.…………………3分（2）存在点P，使四边形POP/C为菱形.设P点坐标为（x，322xx），PP/交CO于E.若四边形POP/C是菱形，则有PC＝PO.…………………5分连结PP/则PE⊥CO于E，∴OE=EC=23∴y=23.∴322xx=23.………………………………6分解得1x=2102，2x=2102（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（2102，23）.…………………………9分中考数学二次函数动点问题10/213.（2012江西模拟）已知抛物线234yxx交y轴于点A，交x轴于点B,C（点B在点C的右侧）.过点A作垂直于y轴的直线l.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.（1）写出A，B，C三点的坐标；（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点P，使得点M落在x轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4.（2012安庆模拟）在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD＝1，AB＝3，BC＝4，M、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，始终保持AM⊥MN、NP⊥BC．(1)证明：△CNP为等腰直角三角形；(2)设NP＝x，当△ABM≌△MPN时，求x的值；(3)设四边形ABPN的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少．解：（1）过D作DQ⊥BC于Q，则四边形ABQD为平行四边形DQ=AB=3，BQ=AD=1∴QC=DQ△DQC中∠C=∠QDC=45°∴Rt△NPC为等腰Rt△………………(4分)（2）∵ABMV≌MPNVMP=AB=3,BM=NPABMPCDN中考数学二次函数动点问题11/21∵△NPC为等腰Rt△∴PC=NP=x∴BM=BC－MP－PC=1－x∴1-x=x∴x=21∴当ABMV≌MPNV时，x=21………………(8分)（3）ABPNS四边形=21(AB+NP)BP=21(3+x)(4－x)=－212x+21x+6=－21(x-21)+6.125(11分)∴当x取21时，四边形ABPN面积最大，最大面积为6.125.………………(14分)5.（2012宝应模拟）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．yxBEFDOACyxBEFDOAC(1)作AH⊥x轴于H，交CF于P∵A(2,2)∴AH=OH=2∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=t∴1tan22tFOBt……………………3分(2)∵CF∥OB∴△ACF∽△AOB中考数学二次函数动点问题12/21∴APCFAHOB即22ttOB∴22tOBt∴12(02)22OABtSOBAHtt………………6分(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要OEEFEBEF或OEEFEFEB即:2BEt或12EBt①当2BEt时,4BOt,∴242ttt∴0t(舍去)或32t∴B(6,0)……………………8分②当12EBt时,(ⅰ)当B在E的右侧时,52OBOEEBt,∴2522ttt∴0t(舍去)或65t∴B(3,0)…………………10分(ⅱ)当B在E的左侧时,如图，32OBOEEBt,