数学(拓展模块)第2章

数学（扩展模块）第2章椭圆、双曲线和抛物线2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线2.1椭圆椭圆的概念与标准方程2.1.1若取一条长度固定且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹我们知道是圆形；若细绳拉开一段距离，两端固定在图板的两个点处，并保持绳子的长度大于两点之间的距离，此时笔尖画出的轨迹是什么形状呢？下面我们来做一个实验.2.1椭圆如下图2-1所示，我们将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点处，并使绳长大于F1、F2的距离，用笔尖将绳子拉紧，并保持拉紧的状态，在画板上慢慢移动，观察所画出的图形.图2-12.1椭圆从以上实验中可以看出，笔尖（即M点）在移动过程中，与两个定点F1、F2的距离之和始终保持不变，等于该绳子的长度.我们将平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1、F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离，即|F1F2|叫作椭圆的焦距.2.1椭圆如果把细绳的两端的距离拉大，是否还能画出椭圆？2.1椭圆以椭圆的焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2-2所示.设点P（x，y）为椭圆上的任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），其中c0，则||F1F2|=2c；点P到焦点F1、F2的距离的和为2a(2a2c0).图2-22.1椭圆由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a即通过移项、两边平方后得为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2=a2－c2，又因为2a2c0，即ac0，可得椭圆的标准方程为（2-1）2.1椭圆我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程.它表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0），F2（c，0），其中c0，且c2=a2-b2，我们把F1叫作椭圆的左焦点，F2叫作椭圆的右焦点.2.1椭圆同理，我们可以得到焦点F1，F2在y轴上的椭圆的标准方程.如图2-3所示，我们以过椭圆的焦点F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，并设F1（0，-c），F2（0，c），其中c0，且c2=a2-b2，那么我们可以得到椭圆的方程（2-2）我们把方程（2-2.它表示椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c0，字母a，b的意义同上，且c2=a2-b2，.2.1椭圆图2-32.1椭圆已知一个椭圆的标准方程，如何判断椭圆的焦点在x还是在y轴上？已知一个椭圆的标准方程，如何判断椭圆的焦点在x还是在y轴上？2.1椭圆例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点(5/2，－3/2)，求它的标准方程.分析焦点是在x轴上.解因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义可知所以a=.又因为c=2，所以b2=a2－c2=10－4=6.因此，所求椭圆的标准方程为.10161022yx2.1椭圆例1还有其他解法吗？2.1椭圆例2指出下列椭圆中a、b、c的值，并说出焦点所在的坐标轴：分析解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上.方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上.解（1）因为2516，所以椭圆的焦点在x轴上，并a2=25，b2=16，则c2=a2-b2=25-16=9，可求出a=5，b=4，c=3.（2）因为10064，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2=100，b2=64，则c2=a2-b2=100-64=36，可求出a=10，b=8，c=6.2.1椭圆练一练1.求下列椭圆的焦点与焦距：2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b=，焦点在x轴上；（2）a=4，c=1，焦点在y轴上；（3）焦距为2，且过点(0,).;11225)1(22yx;1916)2(22yx;12814)3(22yx.651513)4(22yx15152.1椭圆椭圆的性质2.1.21.图形中x，y的取值范围将椭圆的标准方程变形为，且，则可以得出；同理，将椭圆的标准方程变形为，可得出，因此关于椭圆曲线中x、y符合以下取值范围：即|x|≤a，|y|≤b从图2-4上来看，此椭圆应该位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形内.022ax22221byax022by22221axby122by1,12222byax图2-42.1椭圆2.图形的对称性在椭圆的标准方程中，我们将x换成-x，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2（-x，y）也在椭圆上，因此椭圆关于y轴对称，如图2-5所示.同理，将y换成-y，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点P1（x，-y）也在椭圆上（见图2-5）.图2-52.1椭圆3.椭圆的顶点椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点，在上面椭圆的标准方程中，令x=0，得y=±b，说明点B1(0，-b)、B2（0，b）是椭圆与y轴的两个交点.同理，令y=0，得x=±a，说明点A1（-a，0）、A2（a，0）是椭圆与x轴的两个交点，如图2-4中所示.因此我们将A1、A2、B1、B2四个点叫作椭圆(ab0)的四个顶点.线段A1A2、B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，其中a和b分别叫作椭圆的半长轴长和半短轴长.2.1椭圆4.离心率我们将椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记作e.即因为ac0，所以离心率e的取值范围为0e1，且e越大，椭圆就越扁；e越小，椭圆就越接近于圆.2.1椭圆要注意椭圆的焦点与长轴始终在同一个坐标轴上.求椭圆的标准方程时，如果不能确定焦点的位置，要针对不同情况，给出两种标准方程.学习提示2.1椭圆例3椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置情况.解（1）当A（2，0）为长轴端点时，a=2，b=1.椭圆的标准方程为：（2）当A（2，0）为短轴端点时，b=2，a=4.椭圆的标准方程为：综上所述，满足条件的椭圆的标准方程为：和2.1椭圆练一练1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标和顶点坐标.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为20，离心率为3/5；（2）a=4，b=1，焦点在y轴上.3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率..159)3(;1916)2(;60106)1(222222yxyxyx2.2双曲线双曲线的定义与标准方程2.2.1在画板上选取两定点F1，F2，将拉链（拉链的两边等长）拉开一段，其中一边固定在F1处，在另一边上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F2之间的距离），而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处（即点M处），于是随着拉链的逐渐打开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线；同理，将拉链的两边交换位置，可画出另外一支曲线，如图2-6所示.图2-62.2双曲线从以上实验我们可以发现，笔尖（即M点）在缓慢移动过程中，与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值始终保持不变，即等于AF2.我们将平面内与两个定点F1，F2间的距离的差的绝对值是常数（2a，a＞0且小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线．其中这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距.2.2双曲线上面实验所画出的图形就是双曲线，下面我们建立适当的直角坐标系来研究双曲线的标准方程.以双曲线的焦点F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2-7所示.设双曲线的两个焦点为F1(-c，0)，F2（c，0），则焦距为2c（c0）.图2-72.2双曲线设点M（x，y）为双曲线上的任意一点，M点与两个焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a（a0），由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=2a将点M，F1，F2的坐标代入得将上述方程化为2.2双曲线移项两边平方后整理得两边再平方后整理得等式两边同时除以a2(c2-a2)，得由双曲线的定义知道，2c2a0，即ca0，说明c2-a20，设b2=c2-a2（b0），代入上式，方程可变为2.2双曲线我们把方程(a＞0,b＞0)叫做双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0),F2(c，0)，其中c＞0且c2=a2+b2,我们把F1叫作左焦点，F2叫作右焦点.如果我们把双曲线与整个坐标平面绕y=x翻转180°，如图2-8（a）所示，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到焦点在y2-8（b）所示.因此，在上面我们所得到的的双曲线的标准方程中，只要互换x，y，便可得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程：2.2双曲线图2-8方程（2-4）也叫作双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c0，字母a，b的意义同式（2-3）中的a,b，且c2=a2+b2.2.2双曲线例1已知两点F1（-5，0），F2（5，0），求与它们距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.解由已知条件知，动点的轨迹是双曲线，焦点在x轴上，可设其方程为又因为2c=10,2a=6,则c=5,a=3.由c2=a2+b2,得b=4,故所求轨迹方程为2.2双曲线例2求与双曲线有相同焦点且过点P（2，1）的双曲线方程.解根据题意设所求的双曲线方程为(a＞0,b＞0),则由题意得解得a2=b2=3,故所求双曲线的方程为2.2双曲线练一练1.求下列双曲线的焦点与焦距：.1169)5(;139)4(;1169)3(;11625)2(;144916)1(2222222222xyxyyxyxyx2.2双曲线练一练2.求下列双曲线的标准方程：（1）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点；（2）过点且（3）经过点和15822yx)29,3(;310ac)72,3().7,26(2.2双曲线双曲线的性质2.2.2我们采用与研究椭圆的性质相类似的方法，根据双曲线的标准方程来研究双曲线的性质.2.2双曲线1.图形中x，y的取值范围我们把上面双曲线的标准方程变形为由于，因此，即我们再将上面的双曲线方程变形为，由于，所以，即y∈R，则双曲线的取值范围为x≥a或x≤-a，且y∈R.2.2双曲线换句话说，从横的方向来看，双曲线在平行直线x=±a的两侧，而在两条平行线x=±a之间无图像；从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭的曲线，如图2-9所示.图2-92.2双曲线2.图形的对称性在双曲线的标准方程中，我们将x换成-x，方程依然成立,这说明双曲线关于y轴对称.同理可知，双曲线也关于x轴对称，x轴和y轴都叫作双曲线的对称轴.因为双曲线是不封闭的曲线，但仍称其对称中心为双曲线的中心，坐标原点叫作双曲线的对称中心（简称中心）.2.2双曲线3.双曲线的顶点双曲线与对称轴的交点叫作双曲线的顶点，当y=0时，计算得x=±a，所以双曲线的顶点为A1（-a，0）和A2（a，0）（见图2-9）.我们称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a.由于x=0时，双曲线方程无解，即双曲线与y轴无交点，但是我们仍将y轴上的两个特殊点B1（0，-b）、B2（0，b）在图中也标示出来（见图2-9），看作双曲线与y轴的两个虚交点，我们称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，a和b分别叫作双曲线的实半轴长和虚半轴长.2.2双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.学习提示2.2双曲线4.双曲线的渐近线过双曲线的两顶点A1,A2作y轴的平行线x=±a，经过B1,B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形，如图2-10所示.矩形的两条对角线所在直线方程是.这两条直线就是双曲线的渐近线，为双曲线的渐近线方程.