数学(拓展模块)第3章

数学（扩展模块）第3章概率与统计3.1排列与组合3.2二项式定理3.3离散型随机变量及其分布3.4二项分布3.5正态分布3.1排列与组合排列3.1.1随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.某城市交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？3.1排列与组合解决这个问题需分2个步骤：第一步，先确定1名参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种选法；第二步，确定1名参加下能从余下的2人中选，有2种方法，如图3-1所示.图3-13.1排列与组合在基础模块中我们已经学习了两个基本原理及基本原理的简单应用：（1）分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.（2）分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.3.1排列与组合问题一中要完成的“一件事”是从3人中选出2人，分上午和下午参加活动.因此根据分步乘法计数原理，上面问题共有3×2=6种不同的方法，如图3-2所示.图3-23.1排列与组合我们把上面问题一中被选取的对象（比如说同学）叫作元素.上述问题的实质是：从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法.再看问题二：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？这里要完成的“一件事”是从4个数字中选3个排成一个三位数.解决这个问题，需分3个步骤：3.1排列与组合第一步，确定百位上的数字，在1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第二步，确定十位上的数字，从余下的3个数字中去取，有3种方法；第三步，确定个位的数字，只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.如图3-3所示.图3-33.1排列与组合因此根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法，如图3-4树形图所示.图3-43.1排列与组合可得到的所有三位数为123，124，132，134，142，143；213，214，231，234，241，243；312，314，321，324，341，342；412，413，421，423，431，432.上述问题二的实质是：从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素（这里的被取元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列.3.1排列与组合根据排列的定义，当且仅当两个排列的元素完全相同，元素的排列顺序也相同时，两个排列才相同.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数叫作从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.问题一中是从3个不同的元素中任取2个元素的排列数，记为；我们已经计算得出问题二中是求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数，记为；我们已经计算得出.想一想：排列和排列数有什么区别和联系呢？那么从n个不同元素中取出m个元素的排列数是多少呢？3.1排列与组合计算排列数可以这样考虑：假定有排好顺序的m个空位，如图3-5所示，从n个不同元素a1，a2，a3，…，an中任意选择m个元素，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.图3-53.1排列与组合填法可分为m个步骤：第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种方法；第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一个，有n-1种方法；第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一个，有n-2种方法；……第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填一个，有n-m+1种方法.3.1排列与组合根据分步乘法计数原理，共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)中填法.由此，我们可以得到从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数为式（3-1）叫作排列数公式，其中n，m∈N，并且m≤n.可以观察到公式的特征为：①公式右边第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1；②最后一个因数是n－m＋1；③共有m个因数.3.1排列与组合当m=n时，式（3-1）可以变为式（3-2）表示n个不同元素全部取出的排列数，等于由1到n的正整数的连乘积，叫作n的阶乘，用n！来表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成（3-3）3.1排列与组合一般地，我们可以用以下转换来计算的另外一种计算公式：因此，排列公式还可以写成为了使式（3-4）在m=n时也成立，我们规定0！=1.3.1排列与组合例1计算：3.1排列与组合例22007年3月，我国15支俱乐部参加的2007年中超联赛重燃战火，15支足球队将捉对厮杀，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，试问一共要进行多少场比赛？解任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从15个元素中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是3.1排列与组合例3证明：分析本题可以使用式（34）来进行证明.证明右边3.1排列与组合练一练1.判断下列是否是排列：（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？3.1排列与组合练一练2.写出：①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.3.公共汽车上有4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方法有多少种？3.1排列与组合组合3.1.2上节课我们学习了从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有种不同的选法.那么从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法呢？下面我们来研究一下这个问题.通过题意我们知道共有3种选法，分别为甲、乙；甲、丙；乙、丙三种组合，本质上是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素，并成一组，和顺序无关，我们称之为组合.一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不管顺序怎样都并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.1排列与组合组合的定义包含两个方面：①组合与元素的顺序无关，②两个组合的元素完全相同为相同组合.结合排列的定义，我们可以看出组合与排列的共同点是：“从n个不同元素中，任取m个元素”，即“取元素”这点是相同的；区别是：排列要求在取出元素后“按照一定的顺序排成一列”，即与顺序有关；组合要求取出元素后，“不管顺序怎样都并成一组”，即与顺序无关.也就是说，对于取出的m个元素，如果只改变它们之间的相对位置，而不改变元素本身，那么对于排列来说它们是不同的排列，对于组合来说他们却是同一个组合.3.1排列与组合两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？3.1排列与组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用来表示.例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为；我们已经知道=3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下步骤：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；3.1排列与组合第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数根据分步乘法计数原理，可得结合公式（3-4），可得式（3-5）叫作组合数公式，其中n，m∈N，并且m≤n.为了保证m=n时，公式（3-5）有意义，我们规定3.1排列与组合例4从甲、乙、丙、丁四名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正旗手和副旗手,共有多少种选法?解从四名同学中选出两个旗手，共有种选法.再从选出的两位中分别指定正旗手副旗手有种排法.即满足要求的选法共有.3.1排列与组合例5计算：3.1排列与组合例6证明：证明3.1排列与组合例6中公式是组合数的性质之一，即从n个不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出n-m个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种减少计算工作量的方法，如计算可转化为计算.学习提示610C410C3.1排列与组合练一练1.计算.2.判断下列问题是组合问题还是排列问题?（1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？（2）10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?（3）从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?（4）10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?.;;;21002322399198200410CCCCCC3.1排列与组合练一练3.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合.4.求证:.11mnnmCmnmC练一练3.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合.4.求证:.11mnnmCmnmC3.2二项式定理我们知道(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2a1b1+b2观察上面两个乘法公式的展开式中各项的系数有什么规律呢？下面我们通过计算(a+b)4来研究这个问题.先将(a+b)4看作4个(a+b)的乘积，即(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)显然，等号右边的乘积的展开式中的每一项都是从每个括号中任取一个字母的乘积，因此各项均为4次式，展开式中所含字母的形式分别为：a4，a3b，a2b2，ab3，b4那么上面5项在展开式中的系数，即在展开式中出现的次数是多少呢？3.2二项式定理在上面的4个(a+b)中：每个括号中都不取b的情况有一种，即种，则a4的系数为；只有一个括号中取b的情况有种，则a3b的系数为；只有两个括号中取b的情况有种，则a2b2的系数为；只有三个括号中取b的情况有种，则ab3的系数为；四个括号都取b的情况的由种，则b4的系数为.将各项对应的系数代入展开式中，则得到3.2二项式定理一般地，对于任意正整数n，有式（3-6）为二项式定理公式，其中a、b为任意实数.等号右边的多项式叫作（a+b)n的二项展开式，共有n+1项，其中a的指数按降幂排列，b的指数按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n，每项的系数（m=0,1,2，…，n）叫作二项式系数，公式中的为展开式的第m+1项，叫作二项式的通项，用Tm+1表示，则有3.2二项式定理我国宋朝时期著名的数学家和数学教育家杨辉，于1261年在《详解九章算法》一书中提出的三角数表，称之为“杨辉三角”，即为多项式（a+b)n展开后的各个项的二项式系数的规律，如图3-6所示.图3-63.2二项式定理应用二项式定理公式时，a与b能不能交换位置，且（a+b)n的第m+1项和（b+a)n的第m+1项相同吗？3.2二项式定理从图3-6中我们可以看出二项式系数有如下规律：（1）图中每行两端都是1，即（2）从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和，即（3）对称性：与首末两端“等距离”的两个