初三数学旋转相似讲义

专题：旋转相似模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。结论：⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）模型特例：共直角顶点的直角三角形相似当∠AOB=∠COD=90°时，除⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明）外，还有结论⑶、OABOCDOAOBOCODACBDtantan⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则BDACSABCD21四边形2222CDABBCADDEOFEOBCADABFC例题讲解例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF.（1）如图1，若∠ACB=900,探究BF与CD间的数量关系；（2）如图2，若tan∠ACB=43，求BFCD的值；（3）如图3，若△ABC中AC=BC=a，将△DEF绕点O旋转，设直线CD与直线BF交于点H，则BCHS最大值为__________（用含a的式子表示）。分析：（1）连OC，OD，△OBF≌△OCD，BF=CD（2）构造手拉手旋转相似。可证△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFBBFCD=OBOC=tanACB∠21问题转化为已知tan∠ACB=43，求tanACB∠21的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。由右图提示可得tanACB∠21=31；（3）由（2）△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a，定边定角，点H在以BC为直径的圆上，易求2max412121aaaSBCH例2.如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：AG＝CE；求AGDF的值分析：如图2，证CBEABG△△，∴AG=CE如图2，连接BD，BF，DF，易证2BEBFBCBD，45FBEDBC，CBE∠=DBF∠∴∴CBEDBF△△~∴2BCBDCEDFCE=AG∵∴2CEDFAGDF变式：如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点(1)求证：AH=DG;(2)求CFAH的值。AEDBC分析：(1)连接OG,OD,OH,OA,易证：DOGAOH△△~DGAH5,COFBOE5,~,,,,~,21)2(CFAHCFBEBOAOBEAHOAHOBEOAOHOBOEBOEAOHHOEAOBHEOABOABOBEHOE，△易证△△△又△△例3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长。分析：连接BE，由基本图形易得可证△ACD∽△BCE，AD＝33BE，∠BAE＝90°在Rt△ABE作，由勾股定理求得BE＝10则AD＝1033AEDBC练习1.如图，点A是△DBC内一点，,12060,8,3200ACADDACABCBCAB，，求BD得长。分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I.(1)求证：AF⊥BG；(2)当旋转角小于90°时，求CIBIAI2的值；(3)若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.分析：（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。ADBCEP练习3．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD的延长线交直线CE于点P．（1）如图2，BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________；（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP的长；（3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长．分析：（1）BD＝CEBD⊥CE（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2∴CE＝BD＝AB2－AD2＝23∴CP＝23－2（3）取BC中点O，连接OA、OP∵在旋转过程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°∴OP＝12BC＝22∴点P的运动路径是以O为圆心、半径为22的一段圆弧即△ABC外接圆的一部分则∠AOP＝2∠ABP易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动当BP与半圆A相切于点D时，∠ABP最大，从而∠AOP最大∵AD＝12AB，∴∠ABP＝30°，∴∠AOP＝60°即当△ADE从初始位置旋转60°时，点P沿圆弧从A点运动到∠AOP＝60°AEDBCAEBC图1图2DAEBCDOP当△ADE继续旋转，直至点D落在BA的延长线上时，∠ABP＝0°，∠AOP＝0°∴点P从∠AOP＝60°处又回到A点∴点P所经过的路径的长为：2×＝