异面直线所成角问题

异面直线所成角问题1．[2016·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13[解析]A在正方体ABCD­A1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体，如图所示，易知AE∥B1D1，AF∥CD1，所以平面AEF∥平面CB1D1，即平面AEF就是过点A的平面α，所以AE为平面α与平面ABCD的交线，即为m，AF为平面α与平面ABB1A1的交线，即为n，所以m，n所成角即为AE与AF所成角，也是B1D1与CD1所成角，为∠CD1B1.而△CD1B1为等边三角形，因此∠CD1B1＝π3，所以sin∠CD1B1＝32.2．三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为2，高为2，M是AB的中点，则直线CM与BC1所成的角等于________．答案：45°；[解析]如图所示，取A1B1的中点N，连接C1N，MN，则C1N∥CM，所以∠BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角，由题意易得C1N＝3，BN＝3，BC1＝6，所以三角形BNC1为等腰直角三角形，则∠BC1N＝45°.3．[2015·浙江卷]如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．答案：78；[解析]连接ND，取ND的中点为E，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角为∠EMC.因为AN＝ND＝MC＝32－12＝22，所以ME＝2，CE＝（2）2＋12＝3，则cos∠EMC＝CM2＋ME2－CE22CM·ME＝8＋2－32×22×2＝78.4.[2016·湖南衡阳一模]如图所示，在底面为正方形的四棱锥P­ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．答案：36；取AD的中点F，连接EF，BF.因为E为PA的中点，所以EF∥PD，EF＝12PD＝1.因为三角形PAB为等边三角形，所以BE＝3.因为四边形ABCD为正方形，所以BF＝AB2＋AF2＝22＋12＝5，所以在三角形BEF中，由余弦定理得cos∠BEF＝（3）2＋12－（5）22×3×1＝－36，所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为36.5.[2016·湖南郴州摸底]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点，则异面直线AE与D1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：D；[解析](1)连接AB1，AC1.∵CD1⊥B1C1，CD1⊥AB1，AB1∩B1C1＝B1，∴CD1⊥平面AB1C1.∵AE⊂平面AB1C1，∴AE⊥D1C，∴异面直线AE与D1C所成的角为90°.6.[2016·长春四模]六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面边长，则直线AE与CB1所成角的余弦值为________．答案：64；[解析]连接AF1，EF1.∵CB1∥EF1，∴∠AEF1是异面直线AE与CB1所成的角．设AB＝1，则AF1＝EF1＝2，AE2＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3，即AE＝3，∴cos∠AEF1＝AE2＋EF21－AF212AE·EF1＝3＋2－22×3×2＝64，∴直线AE与CB1所成角的余弦值为64.7．[2016·海南文昌中学期末]如图所示，已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的大小为________．答案：30°；[解析]取AD的中点G，连接FG，EG，又E，F分别为AC，BD的中点，所以FG∥AB，且FG＝1，EG∥CD，且EG＝2，所以EF与CD所成的角即为EF与EG所成的角，即∠FEG，又EF⊥AB，即∠EFG＝90°，所以∠FEG＝30°.8．[2016·衡水中学六调]如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为正方形，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案：D；[解析]连接BC1，A1C1，则BC1∥AD1，∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角，记AB＝1，则A1B＝BC1＝5，A1C1＝2，在三角形A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45，所以异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为45.9．[2016·浙江五校二联]如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A­BCD，则当三棱锥A­BCD的体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为()A.58B.14C.1316D.23答案：B；[解析]在平面BCD内过D作DE∥BC且DE＝BC，则∠ADE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角，连接BE，AE，设BD的中点为O，连接AO，EO，当三棱锥A­BCD的体积最大时，平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥EO，于是AE＝AO2＋EO2＝62，在三角形AED中，cos∠ADE＝1＋1－6222×1×1＝14，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为14.10．[2016·哈尔滨六中模拟]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()A．90°B．75°C．60°D．45°答案：A；[解析]延长DA到E，使AE＝DA，连接PE，BE.∵∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，AE＝DA，∴DE＝BC，DE∥BC，∴四边形CBED是平行四边形，∴CD∥BE，∴∠PBE就是异面直线CD与PB所成的角．∵△PAD是等边三角形，∴∠PAD＝60°，∴∠PAE＝120°.在△PAE中，∵AE＝PA，∠PAE＝120°，∴PE＝PA2＋AE2－2PA·AEcos∠PAE＝3AE.在△ABE中，∵AE＝AB，∠BAE＝90°，∴BE＝2AE.∵△PAB是等边三角形，∴PB＝AB＝AE.在△PBE中，∵PE＝3AE，BE＝2AE，PB＝AE，∴PB2＋BE2＝PE2，∴△PBE是直角三角形，且∠PBE＝90°.故选A.11．[2014·全国卷]已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.16B.36C.13D.33答案：B：[解析]如图所示，取AD的中点F，连接EF，CF，则EF∥BD，故EF与CE所成的角即为异面直线CE与BD所成的角．设正四面体的棱长为2，则CE＝CF＝3，EF＝1.在△CEF中，cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝3＋1－32×3×1＝36，所以异面直线CE与BD所成角的余弦值为36.12．如图是三棱锥D­ABC连接DO后的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A.33B.12C.3D.22答案：A：[解析]由题意，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC的中点，取AC的中点E，连接DE，OE，则OE＝1.易知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为异面直线DO与AB所成的角或其补角．易知AB⊥平面DAC，又OE∥AB，所以OE⊥平面DAC，所以OE⊥DE，即△DEO为直角三角形．在△DBC中，易知DC＝DB＝5，OC＝2，所以DO＝5－2＝3，所以cos∠DOE＝OEDO＝13＝33.13．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为______．答案：60°；解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.14.直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C；解析：如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角．15．[2014·广州模拟]在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案：D；解析：如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为π2.16．[2014·西安模拟]在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是__________．答案：60°；解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a22×2a×2a＝－12，所以∠FDE＝120°.所以直线PC与AB所成角的大小是60°.17．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．答案：60°；解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角．设AB＝1，则A1A＝2，∴B1A＝3，AH＝BD＝32，∴cos∠B1AH＝AHAB1＝12，∴∠B1AH＝60°.18.已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角.解：如图，取AC的中点P，连接PM、PN.则PM∥AB，且PM＝12AB.线AB和MN所成的角．PN∥CD，且PN＝12CD，∴∠MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，若∠MPN＝60°，∵PM∥AB，∴∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．又∵AB＝CD，∴PM＝PN，则△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．∴∠PMN＝30°.19.正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解析：(1)如图所示，连接B1C，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.20．(13分)[2016·冀州中学模拟]如图K39­9所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，假设不成立，∴AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成