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实践出真知——《奇妙的图形密铺》教学设计与评析江苏省常州市新北区西夏墅中心小学王芳【教学内容】义务教育课程标准实验教科书五年级下册《奇妙的图形密铺》。【教学目标】1.通过观察生活中常见的密铺现象，初步理解密铺的含义；通过实践操作中知道一些可以密铺的平面图形，加深对密铺的体会。2.在探究多边形密铺条件的过程中提升学生观察、猜测、验证、推理和交流的能力，进一步发展学生的形象思维，能运用几种图形进行简单的密铺设计。3.通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺，经历欣赏数学美、创造数学美的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，享受由美带来的愉悦。【教学重点与难点】教学重点：掌握密铺的特点、知道哪些图形可以进行密铺。教学难点：理解密铺的特点，能进行简单的密铺设计。【教学准备】1.交互式电子白板及课件2.圆、正三角形、正五边形、平行四边形、等腰梯形和七巧板等学具。【教学过程】一、生活情境，认识密铺。师：同学们，在我们的生活中随处可见这样的画面（媒体展示生活中的几张照片）。你能在上面找到哪些我们学过的平面图形？生：画面中有我们学过的正六边形、正方形和长方形。师：是的，它们分别是由正六边形、正方形和长方形拼接而成的。这些平面图形拼接在一起，美化了我们的环境。师：生活中，你有没有看到只用圆形地砖铺成的地面？生：没有。师：这是什么原因呢？你可以想一想，也可以动手铺一铺。生：圆形地砖铺地的时候，中间会有空隙。师演示：（在电子白板拖圆盖住空隙）这样铺，不就没有空隙了吗！生：这样铺会重叠、会高低不平。师：是啊，只用圆形地砖铺地的时候，要么有空隙，要么就重叠。上面三幅图中平面图形的铺法与圆的两种铺法比一比，有什么特点？生：上面的画面中的平面图形铺的时候没有空隙、也没有重叠。（结合学生发言板书：无空隙不重叠）师小结：无论什么形状的图形，如果能像上面这样既无空隙，又不重叠地铺在平面上(板书)，这种铺法就叫做“密铺”。（媒体动态演示密铺的画面）师：今天这节课，我们就一起来研究图形密铺。（板书：图形密铺。）师：从刚才的画面中，你发现哪些图形能密铺？哪个图形不能密铺？生：正六边形、正方形和长方形都能密铺，而圆形不能密铺。（在黑板上贴出相应的图形）【评析:新课伊始,利用生活中大家常见的密铺情境,激活了学生已有的生活经验,学生很容易在观察中发现生活中常用的密铺图形：正六边形、正方形和长方形。紧接着教师提出有没有见过只用圆形地砖铺的地面，引发学生的思考，并在想象或实践操作中使学生发现只用圆形地砖铺地要么出现空隙、要么会重叠，然后在两种画面的对比中引导学生初步认识密铺无空隙、不重叠地在平面上无限地铺下去的基本特征。本环节成功地利用多媒体的动态演示和电子白板的即时演示功能，一方面帮助学生积累了密铺的表象，使学生初步了解了密铺的基本特征，感受数学与生活的联系；另一方面引导学生根据已有的生活经验和操作发现，对只用圆形地砖不能密铺的原因进行合理的推论。课堂气氛十分热烈，学生学习兴趣盎然，人人都争先恐后参与讨论、实践和交流。】二、实践操作、体会密铺。（一）一种平面图形的密铺。师：我们还认识很多平面图形，（出示相关图形）下面几种图形也能密铺吗？——“猜一猜：哪些图形能密铺，哪些图形不能密铺？”生1：我认为平行四边形、等边三角形能密铺，等腰梯形和正五边形不能密铺。生2：我认为所有的图形都能密铺。生3：我认为平行四边形、等边三角形、等腰梯形能密铺，只有正五边形布恩那个密铺。……师：看来同学意见并不一致。那到底哪些图形能密铺，哪些图形不能密铺呢，有什么办法来验证吗？生（异口同声）：动手铺一铺。师：请每位同学把这些图形分别铺一铺，看看你猜对了没有。把你铺的画面都保留在桌面上，老师会把表现出色的同学的作品拍下来传到白板上，一会儿让大家一起来分享。最后把你验证的结果在小组里说一说。学生独立操作，用不同的平面图形进行实践验证。教师巡视，用手机拍下学生的作品，并利用蓝牙功能即时传送到白板上。师：同学们，验证的结果怎样呢？生:平行四边形、等边三角形和等腰梯形能密铺，正五边形不能密铺。师：其他小组有不同意见吗？生：没有。师：（用白板呈现学生用正五边形铺的资源）通过动手操作，大家用正五边形铺出了各种画面。仔细观察一下，我们可以发现正五边形不管怎么铺，都会出现什么现象？生1：我发现用正五边形不管怎样铺，都会出现空隙。如果要盖住空隙，就会出现重叠。生2：我发现不管怎样铺，正五边形不能做到无空隙、不重叠地铺在平面上。所以正五边形不能密铺。师：（用白板展示学生用平行四边形铺的各种资源）平行四边形能密铺，有的同学只铺了四块，有的同学铺了很多，仔细观察，平行四边形为什么能密铺呢？生：因为平行四边形不管怎样铺，都能做到无空隙、不重叠地铺在平面上。师：想象一下，还能继续铺下去吗？生：能。可以一直铺下去。师：（媒体演示平行四边形在平面上无限密铺的画面）是的！平行四边形能在平面上无空隙、不重叠地一直铺下去。所以，平行四边形能密铺。师：那么等边三角形和等腰梯形呢？我们来看几个小组铺的画面。（用白板的功能展示学生密铺的作品）仔细观察一下，它们都有什么特点？生：等边三角形和等腰梯形也能在平面上无空隙、不重叠地密铺下去，所以等边三角形和等腰梯形能密铺。师：真是实践出真知啊！通过动手操作，我们知道了平行四边形、等边三角形和等腰梯形能密铺，而正五边形不能密铺。【评析:通过学生独立操作、自主探索，不仅知道了平行四边形、等边三角形和等腰梯形能密铺，正五边形不能密铺，而且在操作对比中进一步体会了密铺的特征。课堂在学生的争论中引发思考，激起学生实践操作的需求，学生在实践过程中得到验证和发现，这不仅调动了学生参与实践操作的积极性、主动性，还引发学生体会到实践出真知的科学思想。本环节中利用电子交互式白板的灵活交互式功能，用手机把学生的作品拍摄下来，利用蓝牙功能即时传送到电子白板上，再组织学生进行交流和讨论，不仅有效地推进了教学，而且让教师与学生的思维都变得开阔，教师的思维可以和学生的思维进行碰撞，不但可以调动学生的积极性，同时也进一步提高了学生的课堂参与度，通过这种交互活动，学生的交流能力也得到了培养。】三、自主探索、思辨密铺。师：同学们，在刚才的操作中，老师发现大家的动手能力都很强。接下来，要比一比谁最善于思考！思辨一：一般三角形和梯形能不能密铺？师：我们已经知道了等边三角形和等腰梯形都能密铺，请同学们想一想：一般的三角形或梯形能不能密铺呢？学生引起争论：有的说能，有的说不能。师：（在电子白板上拖出两个一般三角形、一般梯形）师：一般的三角形能不能密铺？生：因为两个相同的三角形，只要把其中一个三角形旋转、平移就能转化成平行四边形。刚才我们已经验证了平行四边形能密铺，因此一般三角形一定讷讷个密铺。师：你能到白板上了演示给大家看吗？生到白板上演示一般三角形转化的过程。师：那一般梯形呢？生：也能。因为既然一般三角形能转化成平行四边形，那么一般的梯形用同样的方法也能转化成平行四边形。所以一般梯形也能密铺。师：真了不起！同学们利用已有的知识解决了问题。平面图形只要能转化成已经确定能密铺的图形，这种图形就一定能密铺了。思辨二：两种平面图形的密铺。师：我们已经知道单独用圆不能密铺，但我们还是可以看到许多的密铺现象里用到了圆，这又是什么原因呢？生：我看到的是把圆形与其他的图形组合起来密铺的。（媒体演示：）师：是的，圆是和另一种图形组合密铺的。在实际操作中，人们经常会把两种图形组合起来密铺。师：（出示七巧板）你能从七巧板中选出两种不同的图形密铺一个平面吗？师：请每位同学认真地想一想，你准备选哪两种图形？怎样组合密铺？生1：我准备选一个小三角形和一个正方形，组合成一个梯形，然后用这样的梯形就可以密铺了。（结合学生发言在电子白板上选出一个小三角形和一个正方形，通过旋转、平移组合成一个梯形，并展示用组合成的梯形密铺的画面）生2：我跟他选的差不多，但我选的是两个三角形，组合的是平行四边形。（演示同上）生3：我选的跟他（生2）相同，但我组合的是长方形。长方形也是可以密铺的。（白板演示）师：真奇妙！选择相同，组合不同，密铺的图案也不相同。生4：我选的是平行四边形和三角形，也能组合成梯形。（白板演示）生5：我觉得选一个大三角形和两个小三角形能组合成一个长方形，所以大三角形和小三角形也能组合密铺。（白板演示）师：真令人惊奇！选择不同，组合也不同，密铺的图案更是千变万化。（白板演示）师：相信每位同学都有了自己的奇思妙想，先请每组的组长把所有的七巧板放在桌子中间，每个同学从所有的七巧板中选出你需要的两种不同的图形密铺一个平面。学生自主操作实践，教师巡视，用手机拍摄学生作品，再次传送到白板上。用白板的交互功能展示学生作品，组织学生交流智慧、分享成功。师：同学们，在刚才的活动中，大家密铺出了各种美丽的图案。给大家带来了奇妙的感受！【评析:学生学习的快感源于成功，挑战成功是一种享受。让学生享受学习是对教学的较高要求。本环节中以问题驱动的教学，是让学生置身问题情境中，挑战自我能力，引发学生的思辨，谋求问题解决。第一个问题是思辨一般三角形和梯形能不能密铺，学生通过智慧的碰撞，明白了只要通过转化就能密铺，提升了学生的推理能力，渗透了数学思想方法。第二个问题是思辨两种图形能不能密铺，学生通过交流、实践，再次利用转化的思想解决了问题，加深了对密铺的认识。在这个环节中，学生的主体性和实践能力进一步得到了体现。电子白板的灵活运用激发了学生的灵感，为学生的互动交流、思维碰撞、闪现智慧火花提供了平台。】三、密铺欣赏、创新设计。师：同学们，生活中人们经常在方格纸上进行密铺图案的设计。我们一起来欣赏人们智慧的成果。多媒体展示密铺的创意，学生欣赏。师：古往今来很多科学家和艺术家都在研究“密铺”。（多媒体演示密铺的历史及发展）1619年，数学家们开始利用正多边形密铺平面；200多年后，科学家们发现了许多不同的铺嵌平面的对称图案；后来，艺术家埃舍尔创造了各种动物图案的镶嵌。师：同学们，欣赏了这么多作品，你有什么感想呢？生1：我觉得图形的密铺很神奇！生2：我觉得图形的密铺真的是千变万化！生3:我觉得密铺的图案非常美丽。生4：我觉得图形的密铺十分奇妙!师:数学与艺术的完美结合，奇妙无比！（板书：奇妙的）师：想不想自己也来设计一幅奇妙的图形密铺的作品？下面我们来当一回“小小设计师”——用不同的两种图形进行密铺，在方格纸上画出你设计的图案。学生进行图形密铺的创作，教师收集、拍摄学生的作品。组织欣赏：展示学生的精彩作品。师：有的同学已经完成了他的设计，大家一起来欣赏他的作品，感受她的创意。在这么短的时间里同学们设计出了这么美的图案，表现出了非凡的创造力，让老师很惊讶。师：老师班里的同学也设计了一些作品，想不想欣赏？媒体展示：师：如果感兴趣的话，我们课后可以继续研究下去，老师相信大家一定会设计出更多、更美、更奇妙的密铺图案！【评析:利用多媒体引导学生进入图形密铺的历史和发展中，让学生在欣赏中从图形密铺的认识拓展到图案的镶嵌，知识的延伸，不仅拓展了学生认识的视野，感受数学内在的文化底蕴，而且还激发了学生的创新意识和创作欲望，做到了课虽尽但意未尽。】【课后反思】课堂因为学生的参与而生动活泼，因为学生的动手实践、自主探索、合作交流而显示了数学综合实践活动的魅力。为什么会达到如此的效果呢？第一，做好必要的预设和敏锐的资源捕捉意识。对于操作过程中学生可能会出现怎样的资源，在课前要做好充分的预设，在课堂中针对学生生成的众多资源，需要敏锐的捕捉意识，并及时进行选择、调整和重组，才能组织学生讨论交流，有效地推进教学。第二、还给学生自主的权利。实践活动的组织充分让学生自己探索、自己发现、自己总结、自己归纳，并不断完善和加深对密铺的认识。学生在以自主实践操作为载体、以合作交流为形式、以解决问题为主线、以探索密铺特征、密铺图形为目标的整体框架下，真正参与学习活动，经历实践过程，做到手、脑、口并用，在探索数学结论的同时感受到数学学习的乐趣。第三，充分利用交互式电子白板的灵活交互功能。本课的设计充分利用了电子白板的灵活交互功能，不仅利用蓝牙技术及时上