椭圆的几何性质测试题

1椭圆的几何性质2017/9/221.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.232.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝13.若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F，2(3,0)F，则其离心率为（）A．34B．23C．12D．144．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为()A．x2144＋y2128＝1或x2128＋y2144＝1B．x26＋y24＝1C．x236＋y232＝1或x232＋y236＝1D．x24＋y26＝1或x26＋y24＝15.椭圆+=1与+=1(0k9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距[C.有相同的焦点D.有相等的离心率6.已知F1，F2为椭圆+=1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=17.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A．x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C．x212＋y28＝1D．x212＋y24＝18.过椭圆+=1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.[来源:学9.设F1，F2是椭圆E：+=1(ab0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.10.设e是椭圆+=1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是()A.(0，3)B.C.(0，3)∪D.(0，2)[来源:学|科|网]二、填空题:11.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45的椭圆的标准方程：.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程：.(3)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3的椭圆的标准方程：.12.已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.13.若直线022yx过椭圆)0(12222babyax的左焦点F和一个顶点B，则该椭圆的离心率为_______。14.已知F1，F2是椭圆C：+=1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b=__________.15.已知椭圆12222byax（0ba），F为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为下顶点，且0CFAB，则椭圆的离心率e为___________.16.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=____________.17.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则离心率为.18.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．[来源19.求到定点2,0A与到定直线8x的距离之比为22的动点的轨迹方程．22．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A.22B.212C.22D.211.过椭圆C：)0(12222babyax左焦点F1作x轴的垂线，交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60。，则椭圆的离心率为_________。:学+科+网Z+X+X+K]6.巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．7.椭圆22221xyab（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________.8.椭圆22143xy的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是____________。9设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，[来源:学.科.网Z.X.X.K]21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_________。3.过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是()A.14B.16C.18D.20例3：【补偿训练】设e是椭圆+=1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是()A.(0，3)B.C.(0，3)∪D.(0，2)[来源:学|科|网]【解析】选C.当k4时，c=，[来源:学科网]由条件知1，解得k；当0k4时，c=，由条件知1，已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是________①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④3第2课时直线与椭圆的位置关系2017/9/23一.点与椭圆的位置关系:设点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0).(1)点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(2)点P在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1；(3)点P在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.练习：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(2,1)在椭圆x24＋y29＝1的内部.()(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.()(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋y22＝1相交.()(4)长轴是椭圆中最长的弦.()二.直线与椭圆的位置关系:1.直线与椭圆的位置关系及判定:直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ＞0相切一解Δ＝0相离无解Δ＜02.弦长公式:设直线y＝kx＋b与椭圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.题型1.直线与椭圆的位置关系：例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，问m为何值时，直线与椭圆相切、相交？例2.在椭圆上找一点P，使P到直线y＝x＋2的距离最小，并求出这个最小距离.题型2.椭圆弦长和中点弦问题：例3.已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为12时，求AB的中点和线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.小结：解决椭圆中点弦问题的两种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：代点作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得：y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.题型3.直线与椭圆的位置关系综合问题：例4.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时⊥?此时|AB|的值是多少.例5.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B.(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值.4直线与椭圆的位置关系同步作业2017/9/23一、选择题：1.点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A.－2＜a＜2B.a＜－2或a＞2C.－2＜a＜2D.－1＜a＜12.已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是()A.k＜－22或k＞22B.－22＜k＜22C.k≤－22或k≥22D.－22≤k≤223.过椭圆x24＋y23＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为()A.34B.3C.23D.8334.直线y＝x＋1被椭圆x24＋y22＝1所截得线段的中点的坐标是()A.23，53B.43，73C.－23，13D.－132，－1725.若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A.63B.－63C.±63D.±336.经过椭圆x22＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→＝()A.－3B.－13C.－13或－3D.±137.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为b7，则椭圆的离心率为()A.7－77B.7－277C.12D.458.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF→1·MF→2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.0，12C.0，22D.22，1二、填空题：9.直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为________.10.若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________.11.已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________.12.过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.13.若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________.三、解答题：14.椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝10，求椭圆的方程.15.已知椭圆x24＋y23＝1，直线l：y＝4x＋12，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程.16.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值.5【解】法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则kPQ＝－14.设PQ所在直线方程为y＝－x4＋b.由y＝－x4＋b，x24＋y23＝1，消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.解得b2＜134，x1＋x2＝8b13，设PQ中点为M(x0，y0)，则有x0＝x1＋x22＝4b13，y0＝－14·4b13＋b＝12b13.∵点M4b13，12b13在直线y＝4x＋12上，∴12b13＝4·4b13＋12，∴b＝－138.直线PQ的方程为y＝－14x－138，即2x＋8y＋13＝0.法二：设P(x1，y1)，Q(x2