傅立叶变换的推导

第二章确定信号分析第一节确定信号的傅里叶变化及其推导第二节典型信号的傅里叶变换第三节傅里叶变换的性质第四节周期信号的傅里叶变换及抽样定理QH2.0.2第一节确定信号的傅里叶变换及其推导1，傅里叶变换的基本结论2，三角形式的傅里叶级数的推导3，三角形式的傅里叶级数的分析4，指数形式的傅里叶级数的推导5，指数形式的傅里叶级数的分析6，傅里叶变换的推导7，傅里叶变换的分析QH2.1.1（1）三角形式的傅里叶级数（2）复数形式的傅里叶级数（3）傅里叶变换0111()cos()sin()2nnnaftantbnt1()jntnnftFe2()()jftftFfedf1，傅里叶变换的基本结论QH2.1.2式2.1.1根据三角函数的正交性，对式2.1.1两边积分，得：0111()cos()sin()2nnnaftantbnt00222111222()cos()sin()22TTTnnTTTnaaftdtdtantbntdtT2022()TTaftdtT2，三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.3对式2.1.1两边同乘再在积分，得：1cos()nt[,]22TT212()cos()TTftntdt20221111122cos()cos()sin()cos()2TTnnTTnantdtantbntntdt2naT2122()cos()TnTaftntdtT2，三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.4同理，对式2.1.1两边同乘再在积分，得：1sin()nt[,]22TT212()sin()TTftntdt2nbT20221111122sin()cos()sin()sin()2TTnnTTnantdtantntbntdt2122()sin()TnTbftntdtT2，三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.5由此可得三角形式的傅里叶级数：其中：0111()cos()sin()2nnnaftantbnt2022()TTaftdtT2122()cos()TnTaftntdtT2122()sin()TnTbftntdtT2，三角形式的傅里叶级数的推导式2.1.2式2.1.3式2.1.4QH2.1.6（1）奇偶性为偶函数为奇函数2122()cos()TnTaftntdtT2122()sin()TnTbftntdtT3，三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.7（2）同频合并：其中：被称为频率谱，被称为相位谱。011()cos()2nnncftcnt00ca22nnncabarctan()nnnbancn3，三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.8令，则（奇偶性）令，则得：1111cos()()2jntjntntee1111sin()()2jntjntnteej0111()cos()sin()2nnnaftantbnt111101()()222jntjntjntjntnnnaabeeeej1101()()222jntjntnnnnnaajbajbee1()2nnajbFn1()2nnajbFn0(0)2aF1()jntnnftFe4，指数形式的傅里叶级数的推导QH2.1.91()2nnajbFn21121()(cos()sin()TTftntjntdtT1221()TjntTftedtT4，指数形式的傅里叶级数的推导221122122(()cos()()sin())2TTTTftntdtjftntdtTTQH2.1.10（1）指数形式的傅里叶级数对式2.1.5式2.1.6（2）思考：其中的2到哪去了？1()jntnnftFe1221()()TjntTFnftedtT2122()cos()TnTaftntdtT1221()()TjntTFnftedtT5，指数形式的傅里叶级数的分析QH2.1.11（3）其中频率谱相位谱（4）当为偶函数时，，则为实函数，当为奇函数时，，则为纯虚函数，11()()2njnnajbFnFne2211()22nnncFnabarctan()nnnba2122()cos()TnTaftntdtT2122()sin()TnTbftntdtT()ft0nb1()Fn()ft0na1()Fn5，指数形式的傅里叶级数的分析QH2.1.12由上一节的推导可知，两边同乘T，得：，其中当时，∴令，则12121()()TjntTFnftedtT1212()()TjntTTFnftedt2TT120T1n112()()jtFnftedt112()()FFn()()jtFftedt1111()()jntnFnfte6，傅里叶变换的推导QH2.1.13∵，且，∴112()()FFn1d()1()()22jtjtFftedFed6，傅里叶变换的推导2()jftFfedfQH2.1.14（1）傅里叶变换对：式2.1.7式2.1.8规律：正变换为负，反变换为正。（2）傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积2()()jftftFfedf2()()jftFfftedt7，傅里叶变换的分析QH2.1.15第二节典型信号的傅里叶变换1，冲击函数2，冲击偶函数3，单边指数信号4，双边指数信号5，符号函数6，指数函数7，余弦函数8，矩形窗函数QH2.2.1()()ftt2()()1jftFftedt1，冲击函数思考：0频率与冲击的区别。QH2.2.2'()()ftt'22()()()jftjftFftedtte2jf2()(2)jfttjfedt2，冲击偶函数QH2.2.3()0ateft00tt2()()jftFfftedt3，单边指数信号2012atjfteedtajfQH2.2.4()atfte2()()jftFfftedt2211222(2)aajfajfaf4，双边指数信号0220atjftatjfteedteedtQH2.2.5可以看成是，∴1()sgn()1ftt00ttsgn()t0limatae22()()jftjatjftFfftedteedt220221lim(2)ajfjfaf5，符号函数QH2.2.6020()()jftfteff()1t2()jfttedf2()jftfedt0222()()jftjftjftFfftedteedt∴6，指数函数QH2.2.70001()cos(2)[()()]2ftftffff002201cos(2)()2jftjftftee001()[()()]2Ffffff7，余弦函数QH2.2.8()()0TAftGt22TTtother2()()jftFfftedt2[2sin()]22fTAjjf8，矩形窗函数2222222()2TTTjfjfjftTAAedteejf()sin()ATSinfTATcfTfTQH2.2.9第三节傅里叶变换的性质1，对称性2，尺度变换3，时移特性4，频移特性5，奇偶虚实性6，傅里叶变换综合例题QH2.3.11，对称性若，则推导：∴互换和，得：也即()()ftFf()()Ftff2()()jftftFfedf2()()jftftFfedfft2()()jftffFtedt()()FtffQH2.3.22，尺度变换若，则推导：令则∴()()ftFf1()()ffatFaa21()()jftFffatedtxat1dtdxa2111()()()fjxafFffxedxFaaa2111()()()fjxafFffxedxFaaa1()()ffatFaa0a0aQH2.3.33，时移特性若，则推导：令则∴()()ftFf020()()jftfttFfe210()()jftFffttedt0xtt0txt02()1()()jfxtFffxedx002221()()()jftjftjfxFffxedxeFfeQH2.3.44，频移特性若，则推导：令则()()ftFf020()()jftFfffte210()()jftftFffedf0xff0fxf02()1()()jxftftFxedx022()jftjxtFxedxe02()jftfteQH2.3.55，奇偶虚实性若，则：（1）（2）（3）推导：（1）()()ftFf()()ftFf**()()ftFf**()()ftFf2()()jftFfftedt21()()jftFfftedtxt(2)()(1)jfxfxedx(2)()()jfxfxedxFf(2)()()()(1)jftftedtQH2.3.65，奇偶虚实性（2）2()()jftFfftedt*21()()jftFfftedt2*[()]jftftedt(2)*[()]jftftedt*()Ff（3）由(1)(2)即可得。QH2.3.76，傅里叶变换综合练习题（1）（2）（3）（4）（5）（6）()sin()ftct()()2TTftgt()()tftT1()ftt2()()2jffHfreceWQH2.3.80()cos(2)cftft6，傅里叶变换综合练习题（1）()sin()ftct()sin()TGtATcfT1()sin()Gtcf11sin()()()ctGfGfQH2.3.96，傅里叶变换综合练习题（2）()()2bTTftGt()sin()TGtATcfT()sin()TbbbGtATcfT22()sin()2bTjfTbbbTGtATcfTesin()bjfTbbbATcfTeQH2.3.106，傅里叶变换综合练习题（3）()()tftT'()sin()sin()jfTjfTftAcfTeAcfTesin()2sinAcfTjfTsin2sin()fTATjfcfTfT22sin()ATjfcfT2()()sin()tftATcfTTQH2.3.116，傅里叶变换综合练习题（4）1()ftt1sgn()tjf1sgn()jtf1sgn()sgn()jfjftQH2.3.126，傅里叶变换综合练习题（5）0()cos(2)cftftQH2.3.1300(2)(2)1()[]2ccjftjftftee