第一章矢量分析与场论

第一章矢量分析与场论标量场和矢量场梯度、散度、旋度矢量场的初等运算矢量场的微、积分亥姆霍兹定理场的图示法1.1常用坐标系（正交系）-∞＜x＜∞X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面直角x,y,z-∞＜y＜∞Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面-∞＜z＜∞Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面0≤＜∞=C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面圆柱,,z0≤＜2=C；是一过Z轴的半平面（子午面）-∞＜z＜∞Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面0≤r＜∞r=C；是一O点为中心C为半径的球面球面r,,0≤≤=C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角的圆锥面0≤≤2=C；是一过Z轴的半平面（子午面）形式坐标取值范围几何意义zzzxyOOOx···（x0y0z0）rxy（00z0）（r000）三种正交系的相互关系·zxyr（）X=cos=rsincosY=sin=rsinsinZ=rcosθr2=x2+y2+z2=2+z2=rsin=arctg(y/x)=arccos(z/r)cosα=(x/r)cosβ=(y/r)cos=(z/r)cos2α+cos2β+cos2=11.2标量与矢量物理量通常是时间和空间的函数描述空间的数学语言是坐标描述物理量的数学语言是标量和矢量标量（A）：只有大小没有方向的物理量矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。算数量：＞0代数量：≠0不变量：A·B标量与矢量复数1.3标量场与矢量场物质粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。场：某一物理量在空间的分布称场标量场：其物理量为标量的场矢量场：其物理量为矢量的场场物理量场A（或A）静态场:A（M）均匀场:A（t）动态场均匀平面场:A（z,t)一般时变场:A(M,t)1.4坐标单位矢量、常矢、变矢单位矢量eA:模(大小)为1,以矢量A的方向为方向的矢量。坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量）eθ直角：球面：exeyez圆柱：eρeezere对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量：常矢：大小和方向均不变的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式：=Axex+Ayey+Azez=Aρeρ+Aφeφ+Azez=Arer+Aφeφ+AθeθA=AeA？eθexerezeyeρeA矢量场的不变性AeAA1eA=A/A1.5源点、场点、矢径、距离矢量矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM用r表示称矢径。r=xex+yey+zez=ρeρ+zez=rer矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式，表示的是空间位置，没有物理含义。源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。距离矢量R：由源点指向场点的矢量，用符号R表示。R=r-r′场点：r=xex+yey+zez=ρeρ+zez=rer源点：r′=x′ex+y′ey+z′ez=ρ′eρ+z′ez=r′er源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：S′PRr′r○1.5源点、场点、矢径、距离矢量例：已知，A=xyex+z2ey+yez求：A及r在点P(1,2,2)的值，且图示。注意：矢径和矢量的区别解：①求值∵r=xex+yey+zez由题意可知：x=1,y=2,z=2将此代入A及r得：A=2ex+4ey+2ez;r=ex+2ey+2ezrA○②图示P(1,2,2)1.6矢量的初等运算矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除且以各矢量同在某一点为前提加减乘设：A=Axex+Ayey+Azez，B=Bxex+Byey+BzezA±B=(Ax±Bx)ex+(Ay±By)ey+(Az±Bz)ez标乘点乘叉乘μA=μAxex+μAyey+μAzezA·B=A·Bcos(A·B)=AxBx+AyBy+AzBz∧性质：1、若A·B=0则A⊥B2、A·A=A2A×B=A·Bsin(A·B)en=∧exeyezAxAyAzBxByBz性质：1、若A×B=0则A∥B2、A×A=0A×BABen1.6矢量的初等运算矢量初等运算规则(设：A、B、C都是矢量)A+B=B+A;A±(B±C)=(A±B)±CA·B=B·A;A·(B+C)=A·B+A·CA×B=-B×A;A×(B+C)=A×B+A×CA·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)(A·B)C≠A(B·C);A×(B×C)≠(A×B)×CA×(B×C)=(A·C)B-(A·B)C‖‖‖AxAyAz[ABC]=[BCA]=[CAB]=BxByBzCxCyCz若B=C则A·B=A·C及A×B=A×C成立若A·B=A·C及A×B=A×C则B=C不一定成立结论：等式两边可同时“点”和“叉”，但不能随意消去相同的量CAB1.7坐标变换1、不同坐标系的变换例：Φ=1/√x2+y2+z2=1/√ρ2+z2=1/r2、坐标平移例：若电荷q位于坐标原点O，则电位Φ=kq/√x2+y2+z2若将电荷q置于坐标点s′(x′y′z′)处,求电位Φ的表达式。解：将坐标点s′定义为新坐标系(u,v,w)的原点O′则：Φ=kq/√u2+v2+w2=kq/√(x-x′)2+(y-y′)2+(z-z′)2OO′uwvzxy·Φqq3、坐标旋转∵坐标系是一钢架，∴当某一轴替代另一轴时，其它轴也应相应变换。OxzyOyxzOxzy原坐标新坐标1.7坐标变换4、坐标单位矢量的变换设：u和v分别为正交坐标系ev1=cos(ev1eu1)eu1＋cos(ev1eu2)eu2＋cos(ev1eu3)eu3=(ev1·eu1)eu1＋(ev1·eu2)eu2＋(ev1·eu3)eu3同理：ev2=(ev2·eu1)eu1＋(ev2·eu2)eu2＋(ev2·eu3)eu3ev3=(ev3·eu1)eu1＋(ev3·eu2)eu2＋(ev3·eu3)eu3用矩阵表示：ev1ev1·eu1ev1·eu2ev1·eu3eu1ev2=ev2·eu1ev2·eu2ev2·eu3eu2ev3ev3·eu1ev3·eu2ev3·eu3eu3eu1eu3eu2ev1以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得：直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系∧∧∧球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7坐标变换exezeyer方法（一）：由一般式，且设：u为直角坐标系、v为球坐标系，则有：erer·exer·eyer·ezexeθ=eθ·exeθ·eyeθ·ezeyeφeφ·exeφ·eyeφ·ezezcosαcosβcosγex=er(θ+90°,φ)·exer(θ+90°,φ)·eyer(θ+90°,φ)·ezeyer(90°,φ+90°)·exer(90°,φ+90°)·eyer(90°,φ+90°)·ezezsinθcosφsinθsinφcosθex=sin(θ+90°)cosφsin(θ+90°)sinφcos(θ+90°)eysin90°cos(φ+90°)sin90°sin(φ+90°)cos90°ezsinθcosφsinθsinφcosθex=cosθcosφcosθsinφ-sinθey-sinφcosφ0ez球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7坐标变换方法（二）：exezeyerer=sinθcosφex+sinθsinφey+cosθezρρezρexeyθφsinθsinθsinθereθ=cosθcosφex+cosθsinφey－sinθezexezeyerρρezρexeyθφcosθcosθerθcosθeθeφ=-sinφex+cosφeyρexeyφeφφ例：已知，在点P(1,1,0)处有一常矢量A=2ex+4ey+2ez①求：A在该点的球坐标表达式。②求：A在(√2,√2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。①对于点(1,2,2)：sinθ=1，sinφ=1/√2，cosθ=0，cosφ=1/√2因此：ex=1/√2er-1/√2eφ，ey=1/√2er+1/√2eφ,ez=－eθ∴A=3√2er－2eθ+√2eφ②对于点(√2,√2,2)：sinθ=sinφ=cosθ=cosφ=1/√2因此：ex=1/2er+1/2eθ-1/√2eφ,ey=1/2er+1/2eθ+1/√2eφez=1/√2er-1/√2eθ球：∴A=(3+√2)er+(3-√2)eθ－√2eφ直：∵ex,ey,ez为常矢，因而A不随点变化∴A=2ex+4ey+2ezex=sinθcosφer+cosθcosφeθ-sinφeφey=sinθsinφer+cosθsinφeθ+cosφeφez=cosθer－sinθeθ解：∵以上结果显示：①同一矢量，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。但由矢量场的不变性可知：对于点(1,2,2)：A=3√2er－2eθ+√2eφ=2ex+4ey+2ez对于点(√2,√2,2):A=(3+√2)er+(3-√2)eθ－√2eφ=2ex+4ey+2ez②同一常矢量，在不同点其直坐标下的表达式是不变的，而球坐标下的表达式是完全不同的。这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性即：无论你选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。这表明除直坐标外：坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应对于柱或球坐标系每条ρ或r射线都与唯一的一组坐标轴对应1.8微分元微分元是矢量微、积分的基础。坐标线元dxdydzdρρdφdzdrrdθrsinθdφ坐标平面元dσ若:则dσ=x=c,dydzy=c,dxdzz=c,dxdyρ=c,ρdφdzφ=c,dρdzz=c,ρdρdφr=c,r2sinθdφdθθ=c,rsinθdrdφφ=c,rdrdθ坐标体元dvdxdydzρdρdφdzr2sinθdrdφdθdx=dy=dz=dρ=dφ=dz=dr=dθ=dφ=exeyezeρeezereθeφ坐标元任意元坐标元dx直dydzdρ柱dφdzdr球dθdφendσx=dσy=dσz=dσρ=dσφ=dσz=dσr=dσθ=dσφ=enenenenenenenenenyxzendxdzdydσz=dxdyezdσz=-dxdyezyxzdzdρdφ=ρdφeφdφdσρ=ρdφdzeρρyxzdθdφφrrdθdl=-dxex+dyey+dzez=dρeρ+ρdφe+dzez=drer-rdθeθ+rsinθdφeφendsdσz⊿syxzdxdydz⊿ldlyxzdρrsinθdφdrer-rdθeθrdr弧长元(切线)dl=dleτ直：=dx+dy+dz=±dxex±dyey±dzezdl=√dx2+dy2+dz2柱：=dρ+dφ+dz=±dρeρ±ρdφe±dzezdl=√dρ2+(ρdφ)2+dz2球：=dr+dθ+dφ=±drer±rdθeθ±rsinθdφeφdl=√dr2+(rdθ)2+(rsinθdφ)2曲面元(切面)ds=dsen直:=dσx+dσy+dσz=±dydzex±dxdzey±dxdyezds=√(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2柱:=dσρ+dσφ+dσz=±ρdφdzeρ±dρdze±ρdρdφezds=√(ρdφdz)2+(dρdz)2+(ρdρdφ)2球:=dσr+dσθ+dσφ=±r2sinθdφdθer±rsinθdrdφeθ±rdrdθeds=√(r2sinθdφdθ)2+(rsinθdrdφ)2+(rdrdθ)2dρdφ概念：1.8微分元坐标：空间某点的位置可用三个坐标(例：xyz)唯一确定。坐标线：例：当y=a,z=c(a,c为常数)而x连续变化所形成的轨迹称x坐标线。显然和坐标线为一族同心圆和半圆。坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的一微小线